Educational Codeforces Round 86 (Rated for Div. 2) A~D
Educational Codeforces Round 86 (Rated for Div. 2) A~D
A. Road To Zero
题意
给定两个数字 \(x,y\) ，你可以进行以下两个操作：
- 花费 \(a\) 美刀，可以选取一个数字进行加一或者减一操作
- 花费 \(b\) 美刀，对两个数字同时执行加一或者减一操作
询问让两个数字同时归零的最少花费。
解题
题中给出 \(x,y,a,b\) 四个数字全部都大于等于零，不用考虑加一操作。
假设 \(x \le y\) ，则最少花费 \(ans = min(a(x+y),bx+a(y-x))\) ，下面给出简单证明。
设将 \(x,y\) 归零过程中，执行操作二的次数为 \(p (0\le p\le x)\) ，则总花费 \(cost(p) = bp + a(x+y-2p) = (b-2a)p+a(x+y)\) ，根据函数单调性可以得到下面结论。
\[minCost = \begin{cases} cost(0) & b-2a\ge 0\\ cost(x) & b-2a<0\\\end{cases} \]所以 \(ans = min(cost(0),cost(x)) = min(a(x+y),bx+a(y-x))\) 。
def scanf():
return list(map(int,input().split()))
for t in range(int(input())):
x,y = scanf()
a,b = scanf()
if(x>y): x,y = y,x
print(min(a*(x+y),b*x+a*(y-x)))
B. Binary Period
题意
给定一个仅由 0 和 1 组成的字符串 \(t\) ，询问一个字符串 \(s\) ，要求：
- \(s\) 仅由 0 和 1 组成；
- \(s\) 的长度不超过 \(t\) 的二倍；
- \(t\) 是 \(s\) 的子串；
- \(s\) 在满足上述条件的同时，要求周期最少。
解题
首先注意题目中说的是子串，并不是连续子串。我们可以对字符串 \(t\) 插入至多 \(|t|\) 个 \(0\) 和 \(1\) 来构成 \(s\) ，分情况考虑：
- 当输入的 \(t\) 串中仅含有单一的字符，如 \(111\)，\(000\) 等。那么周期最小的 \(s\) 就是 \(t\) 本身，周期为 \(1\) 。
- 当 \(t\) 两种字符都包含的时候，可以通过交替的方式插入 \(01\) 字符，构成长度为 \(2|t|\) 的 \(01\) 交替的 \(s\) 串，周期为 \(2\) 。
for t in range(int(input())):
inp = input()
has0 = False; has1 = False
for c in inp:
if(c=='0'): has0 = True
if(c=='1'): has1 = True
if not(has0 and has1):
print(inp)
else:
ans = ''
for _ in inp: ans+='01'
print(ans)
C. Yet Another Counting Problem
题意
询问 \(x\in[l,r]\) 中 \(x\) 满足 \(x\%a\%b\ne x\%b\%a\) 的数量。
解题
题面很简单，题目很离谱。起初以为可能是某个数学结论，经过几番举例发现是一道规律题。
设当 \(a,b(a\le b)\) 已知的情况下，\(f(p)\) 为区间 \([1,p)\) 内满足条件的 \(x\) 的数量，\(ans = f(r+1)-f(l)\) ，类似差分的思想。
经过几组举例发现，如果 \(b\%a=0\) ，则 \(f(p)\) 的值始终为 \(0\) 。
如果 \(b\%a\ne 0\) 时， \(\triangle f(p) = f(p+1) - f(p) = int(p\%b\%a\ne p\%a\%b)\) 会具有明显的周期性，其周期 \(T = lcm(a,b)\) ，
反推得到 \(f(p)\) 值，
from math import gcd
def scanf():
return list(map(int,input().split()))
def f(p,a,b):
lcm = a*b//gcd(a,b)
res = (p//lcm)*(lcm-b) + max(0,p%lcm-b)
return res
for t in range(int(input())):
a,b,q = scanf()
if(a>b): a,b = b,a
for _ in range(q):
l,r = scanf()
if(b%a==0): print('0')
else: print( int(f(r+1,a,b)-f(l,a,b)) )
D. Multiple Testcases
题意
给定一个大小为 \(n\) 的正整数数组 \(m\) 和一个正整数 \(k\) ，保证 \(m_i\le k\) 。将数组 \(m\) 分成若干个子数组，要求每个子数组中大于等于 \(i\) 的数字不超过 \(c_i\) 个，询问分成份数最少的方案。
解题
首先注意两点，题目中保证 \(n≥c1≥c2≥⋯≥ck≥1\) 。如果设 \(lg(i)\) 表示任意一个大于等于 \(i\) 的数字，将 \(lg(x)\) 分给一个子数组，那么这个数字将会同时占据 \(c_1,c_2,...,c_x\) 各一个份额。
我们可以先求出至少分成的份数 \(ans = max(\lceil\frac{count(lg(i))}{c_i}\rceil),i\in[1,k]\)，关于 \(count\) 的计算方式如下。
按照这个份数将数组顺序摊开分布即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fr(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define frs(i,n,flag) for(int i=0;i<n&&flag;i++)
#define frr(i,j,n) for(int i=j;i<n;i++)
#define r_frr(i,j,n) for(int i=n-1;i>=j;i--)
#define frrs(i,j,n,flag) for(int i=j;i<n&&flag;i++)
#define r_frrs(i,j,n,flag) for(int i=n-1;i>=j&&flag;i--)
#define arend(i,n) ((i!=n-1)?" ":"\n")
#define memset0(dp) memset(dp,0,sizeof(dp))
#define print_arr(begin,end) for(auto it = begin;it!=end;it++) cout<<*it<<arend(it,end);
#define log_this(name,value) cout<<name<<": "<<value<<endl;
#define e4 10004
#define e5 100005
#define e6 1000006
#define e7 10000007
#define e9 1000000000
#define INF 9999999
using namespace std;
int to_int(string s) {stringstream ss;ss<<s;int a;ss>>a;return a;}
string to_str(double a) {stringstream ss;ss<<a;return ss.str();}
int m[2*e5];
int c[2*e5];
int ct[2*e5];
int main(){
cin.tie(0);
//ios::sync_with_stdio(false);
//cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(0);
int n,k;
while(cin>>n>>k){
fr(i,n) cin>>m[i]; sort(m,m+n);
frr(i,1,k+1){
cin>>c[i];
ct[i] = 0;
}
int i = k;
r_frr(j,0,n){
if(i==m[j]) ct[i]++;
else{
while(i>m[j]){
i--;
ct[i] = ct[i+1];
}
ct[i]++;
}
}
int ans = 0;
frr(i,1,k+1) ans = max(1.0*ans,ceil(1.0*ct[i]/c[i]));
auto prt = new vector<int>[ans];
int p = 0;
fr(i,n){
prt[p++].push_back(m[i]);
if(p==ans) p = 0;
}
cout<<ans<<endl;
fr(i,ans){
cout<<prt[i].size()<<" ";
print_arr(prt[i].begin(),prt[i].end());
}
}
return 0;
}
