零基础字符串哈希：从入门到入门
主播曾被这题卡了一下午，所以讲解一种最适合人类宝宝理解的哈希。
引入
考虑以下问题。
DX 给了你一个字符串
aadead，请你用自己的方式，将其表示为十进制数。
聪明的你很快想到，将原串拆分成六个字母，得到a，a，d，e，a，d。
然后考虑将每个字母分别转成十进制数。你选择最直观的方式——采用字母表中每个字母的编号，于是你得到了 \(1,1,4,5,1,4\) 这六个数字。
接下来，你把六个数字写到一起，得到了 \(114514\)，解决了问题。
从哈希的角度来看，你所做的操作，实际上就是求出了字符串 aadead 的 哈希值。
这中间有一些细节，我们接下来展开探讨。
基本概念
哈希值
通俗来讲，就是将一个字符串映射成整数后，得到的值。我们将其记为 \(\text{hashh}\)。
一般地，我们认为”两字符串相等”与“两字符串哈希值相等”互为充要条件。这就提供了一个机会，使得我们可以在预处理后以 \(O(1)\) 的复杂度判断两串是否相等。
这一结论的主要应用在于代替传统的字符串比较方式，即一位一位地判断。容易发现，后者的复杂度是线性的。
基数
我们回到你得到的六个数字：\(1,1,4,5,1,4\)。
你是如何从它们得到 \(114514\) 的呢？很简单，将已得到的值（初始为 \(0\)）乘以 \(10\)，再加上下一个数。
用文字可能不太直观，我们写成代码来看。
inline int calc(){
int sum=0;
int a[]={1,1,4,5,1,4};
for(int i=0;i<6;++i)sum=sum*10+a[i];
return sum;
}
相信你能够完全理解这一步骤了。但是，我们思考一个问题：为什么统计下一个数的贡献时，我们会将已有结果乘以 \(10\)，而不是别的数呢？
答案是显然的——我们要得到的是十进制数。
这就引出了哈希中的一个重要概念——基数。通俗来讲，它决定了你得到的哈希值的进制。我们记它为 \(\text{base}\)。
认识到这一点，我们就可以给 \(\text{base}\) 随意取值，以计算任意进制下字符串的哈希值。
容易发现，我们已经有了一个通用的公式。具体地，我们记 \(s\) 为任意字符串，\(n\) 为 \(s\) 的长度。于是有：
其中 \(\forall s_i\) 在转为整数后参与运算。有了上面的解释，这个式子很好理解了。把它写成代码，就类似于这样：
inline int get(string s,int base){//给定以 1 为起始位置的长度为 n 的字符串，返回它在 base 进制下的哈希值。
int hashh=0;
for(int i=1;i<=n;++i)hashh=hashh*base+(int)s[i];
return hashh;
}
模数
注意到上面的代码有一个缺陷：我们得到的哈希值可能很大，可能炸 int，甚至达到任何一种数据类型都无法存储的地步。因此，我们需要指定一个 模数，随时将得到的哈希值对它取模。我们记模数为 \(\text{p}\)，那么我们计算哈希值的公式就变成了：
容易发现，必然有 \(\text{hashh} \in[0,\text{p})\)，也就是说，上面的式子只能生成 \(\text{p}\) 种不同的哈希值。这时候，可能出现 哈希冲突，也就是两个不同字符串的哈希值相同。这就是哈希身上玄学色彩的来源。
举个例子，现在 \(A\) 串的哈希值原本为 \(201\)，\(B\) 串的哈希值原本为 \(101\)。对 \(100\) 取模后，两串的哈希值都变成了 \(1\)，这就是哈希冲突。
为避免哈希冲突，我们显然希望 \(\text{p}\) 有以下特征：
-
大，这样区间更大，能生成的不同哈希值更多；
-
\(\text{p} \in \mathbb{P}\)，这样 \(\text{p}\) 的因子最少，取模后结果相等的可能性最小。
所以，我们一般选取 \(998244353,19491001,1145141\) 这样的数作为模数。
但是，我们可以偷个懒——用 ull 存储哈希值，不进行取模。这种写法被称为 自然溢出。
一来，ull 的存储范围很大，一定程度上可以提高正确率；另一方面，它溢出后直接从 \(0\) 重新开始，相当于我们将 \(\text{p}\) 设成了 ull 的上界
。
题外话：敢在 CF 上写自然溢出的都是勇士。
容易发现，自然溢出的优点在于简单好写，但缺点在于容易被卡。其实不影响它能够通过此题。
另外，还有一种写法——双模数，可以看我的 这篇题解 进行了解。它正与自然溢出相反——难写，但正确率高。
代码实现
现在你已经对字符串哈希有了基本的了解，于是我们回到本题。
思路是显然的——计算每个串的哈希值，最后观察不同的哈希值的个数。
我们把重点放在后半部分。容易发现，对于一个有序的数列，相等的数必然相邻。于是我们考虑将哈希值存在一个单调递增（减）的数组中，再从前往后扫一遍；若当前位与前一位不同，则计入答案；否则，直接忽略。
于是代码就显然了。
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#define ull unsigned long long
#define p 212370440130137957ll//模数
#define base 191//基数
using namespace std;
const int N=1e7+5;
int n,ans=1;
ull a[N];//存储哈希值
namespace OIfast{
inline int read(){//快读快写
int n=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-')f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9')n=(n*10+c-'0')%p,c=getchar();
return n*f;
}
inline void print(int n){
if(n<0)putchar('-'),n=-n;
if(n>=10)print(n/10);
putchar(n%10+'0');
return ;
}
inline void write(int n,char c){
print(n),putchar(c);
return ;
}
}using namespace OIfast;
inline ull hashh(string s){//计算给定字符串的哈希值。
int l=s.size();
ull x=0;
for(int i=0;i<l;++i){
x=(x*base+(ull)s[i])%p;
}
return x;
}
signed main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i){
string s;
cin>>s;
a[i]=hashh(s);
}
sort(a+1,a+n+1);//排序，递增递减都可。
for(int i=2;i<=n;++i)if(a[i]!=a[i-1])++ans;//如上。
write(ans,'\n');
return 0;
}
这个代码实现是主播不太喜欢的，因为它需要使用 cin 来读入字符串。主播不喜欢 cin，主播要用 getchar()。scanf() 是什么，能吃吗。
注意到我们使用代码（不是公式）计算哈希值时，每一轮计算都只与某一个字符有关，而与字符串长度无关。我们完全可以在输入的同时处理出哈希值，但却在 hashh() 函数中获取了字符串的长度用以遍历字符串。
所以，使用 getchar() 一个一个地读入字符并计入贡献，直到读取到非法字符（此时当前字符串输入完毕）。
我们再加上自然溢出，就得到了这份代码：
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#define ull unsigned long long
#define base 191
using namespace std;
const int N=1e7+5;
namespace OIfast{
inline ull read(){
ull n=0;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9'){
n=(n<<3)+(n<<1)+(c^48);
c=getchar();
}
return n;
}
inline void print(ull n){
if(n>=10)print(n/10);
putchar(n%10^48);
return ;
}
inline void write(ull n,char c){
print(n),putchar(c);
return ;
}
}using namespace OIfast;
int n,ans=1;
ull a[N];
signed main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i){
ull hashh=0;
char c=getchar();
while(!isdigit(c)&&!isalpha(c))c=getchar();//跳过乱七八糟的东西。
while(isdigit(c)||isalpha(c)){//计算当前字符串的哈希值。循环结束就标志着当前字符串输入结束。
hashh=hashh*base+(ull)c;
c=getchar();
}
a[i]=hashh;
}
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=2;i<=n;++i)if(a[i]!=a[i-1])++ans;
write(ans,'\n');
return 0;
}
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