统计学——概率论基础知识

前言：

以少见多，以小见大，以样本见总体。提取样本信息，推荐总体信息。

必然现象：可预言结果，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生/必然不发生，称为必然现象inevitable phenomena /确定性现象 definite phenomena。

随机现象：事前不可预言其结果，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。在个别试验中其结果呈现偶然性，不确定性现象，称为随机现象random phenomena或不确定性现象 indefinite phenomena.

随机/不确定现象：

　　1，在一定条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言出现那种结果，对一次或少数几次观察或试验而言，其结果过呈现偶然性、不确定性。

　　2，在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定性，称为随机现象的统计性规律。

随机试验：random trial 

　　1，试验结果有许多种，所有可能的结果事先明确，每次试验将出现的结果事先不能准确预言，在相同条件下试验可以重复进行

　　随机试验的结果较事件

　　大量试验中具有某种规律性的事件叫：随机事件（偶然事件：random event）用A,B,C标识

　　不能分解成其他事件组合的最简单的基本事件称为基本事件elementary event，样本点sample point;compound event 复合事件；

　　试验中必然发生的事件叫必然事件，记作全

　　试验中必不发生的事件较不可能事件，记作fai

a，样本空间：必然事件，certain event 

b，样本点：只包含一个元素的单点集

c，不可能事件impossible event：空集

d，事件的包含：A<B,B>A，A<=B

e，事件的等价：A=B，或A<B且B<A

f，事件的并：AUB 满足A 或者满足B     or

g，事件的交：AnB 满足A且满足B

h，事件的差：A-B满足A但不满足B

I，互不相容事件：AnB=空集

J，对立事件：AUB=全集，且AnB=空集    ——————————重要

概率：刻画事件发生可能性大小的数量指标，这指标是事件本身固有的，且不随人的主观意志而改变，称为概率 probability.P(A)

试验概率：相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，则m/n为随机事件A的频率frequency，当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定的接近某一数值p，那么就把p称为随机事件A的概率，这种概率称为统计概率statistics probability，或者称后验概率 posterior probability

 在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的概率作为该随机事件概率的近视值；

P(A)=P约等于m/n（n充分大）

先验概率：

后验概率：大量试验

对于某些随机事件，不需要进行多次重复试验来确定其概率，根据随机事件本身的特性直接计算其概率。

有很多随机试验有如下特征：

　　1，可能结果只有有限个，样本空间中的基本事件只有有限个；

　　2，各个试验的可能结果出现的可能性相等，即所有基本事件的发生是等可能的；

　　3，试验的所有可能结果两两互不相容；

具有上述特征的随机试验，称为古典概型classical model，对于古典概型，概率的定义如下：设样本空间由n个等可能的基本事件所构成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件A的概率为m/n ,即P(A)=m/n；

以上称为古典概率classical probability /先验概率 prior probability；

主观概率：因人而宜，任的是经验、知识和分析判断能力等；

性质：非负性，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，A与B不相容，P(A+B)=P(A)+P(B)；

若随机事件的概率很小，称之为小概率事件，在一次试验中看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不可能性原理，称为小概率原理。

小概率事件实际不可能性原理是统计学上进行假设检验（显著性检验）的基本依据。

条件概率：事件B已发生，求事件A的概率；

设A，B为同一个随机试验中的两个随机事件，且P(B)>0，则称：P(A|B)=P(AB)/P(B)>=P(AB)，P(AB)=P(A)*P(A|B)

两个事件A，B，若P(A)>0且P(AB)=P(A)*P(B)则A与B相互独立

三个事件P(AB)=P(A)*P(A|B)，P(AC)=P(A)*P(A|C)，P(BC)=P(B)*P(C)，P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)，

两两相互独立的三个事件未必互相独立；

全概率事件：设A1,...An构成一个完备事件租，且P(Ai)>0，i=1，2，...,n则对任何一个随机事件B，有：P(B)=E P(Ai)P(B|Ai)   类似加权平均，权重为概率

完备事件组：相互独立，且合并为全集

所有完备事件组并非一定是基本事件，所有的基本事件必然是一个完备事件组，

贝叶斯公式：A为完备事件组，B为样本空间任意事件 P(B)=E(i=1,n) P(Ai)P(B|Ai)