[RC-05] 迷失自我

对于两个只包含 \(7,9\) 的数字串 \(S,T\)，如果：

• \(S,T\) 长度均为 \(n\)；
• \(S\) 的字典序小于 \(T\)；
• 对于任意 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2,r_2]\)（\(1\le l_1\le r_1\le n\)，\(1\le l_2\le r_2\le n\)，\(l_1,r_1,l_2,r_2\) 为整数，两个区间不相同），设 \(A_S\) 为将 \(S\) 的第 \(l_1\sim r_1\) 个字符顺次排列得到的十进制数，\(A_T\) 为将 \(T\) 的第 \(l_1\sim r_1\) 个字符顺次排列得到的十进制数，\(B_S\) 为将 \(S\) 的第 \(l_2\sim r_2\) 个字符顺次排列得到的十进制数，\(B_T\) 为将 \(T\) 的第 \(l_2\sim r_2\) 个字符顺次排列得到的十进制数，有 \(\gcd(A_S,B_S)=\gcd(A_T,B_T)\)。

那么，就称 \((S,T)\) 是无法辨识的一对。比如，\(S=7977\) 和 \(T=7979\) 不是无法辨识的，因为取 \([l_1,r_1]=[1,4]\)，\([l_2,r_2]=[2,2]\)，则 \(\gcd(A_S,B_S)=\gcd(7977,9)=3\)，\(\gcd(A_T,B_T)=\gcd(7979,9)=1\)，有 \(3\ne 1\)。

求长度为 \(n\) 的只含 \(7,9\) 的数字串中有几对无法辨识。你只需求出答案对 \(998244353\) 取模的值。

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话说这不是道橙题吗？感觉难度有误。

通过简单的枚举可以发现：

当 \(n\) 大于 \(2\) 时，答案为 \(0\)。

否则答案为 \(1\)。

我们来简单证明一下：

当一个只由 \(7\) 和 \(9\) 组成的字符串的长度大于 \(2\) 时，那么一定有任一个数字出现超过 \(1\) 次，那么这两个重复出现的数字（可以看做区间长度为 \(1\) 的字符串）的 \(\gcd\) 一定等于这个数字。

对于某个字符串，把所有满足 \(\gcd\) 为 \(7\) 和 \(9\) 的长度为 \(1\) 的区间对拿出来组成两个集合，就可以确定一个字符串。

AC 代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int main(void)
{
	int T;
    cin >> T;
    
    while(T--)
    {
    	long long n;
        cin >> n;
        
        if(n <= 2)
		{
        	cout << 1 << endl;
		}else{
			cout<<0<<endl;
        }
    }
  	return 0;
}