扩展欧几里得算法

贝祖定理：若$a,b$是整数，且

$$gcd(a,b)=d ，$$

  那么对于任意的整数 $x,y$，$ax+by$ 都一定是 $d$ 的倍数。

  特别地，一定存在整数 $x,y$，使 $ax+by=d$ 成立。

  推论：$a,b$ 互质的充分必要条件是存在整数 $x,y$ 使 $ax+by=1$ 。

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辗转相除法（欧几里得算法）

核心思想：若$a=x_nb+y_nr $，则

$$(a,b)=(b,r) $$

计算公式：

$$\mathrm{gcd}(a,b) = \mathrm{gcd}(b,a\ \mathrm{mod} b) $$

算法：

def gcd(a, b):
    while b != 0:
         a, b = b, a % b
return a

模逆元存在的条件

• 若 $a,b$ 互素，则 $a$ 必然存在模 $b$ 的逆元；

• 若 $a,b$ 不互素，则 $a$ 必然不存在模 $b$ 的逆元。

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扩展欧几里得算法思想

 

目标：求 $a$ 关于模 $b $ 的逆元。

考虑公式：

$$xa+yb=1 $$

显然$\bm{x} $即为$a$关于模 $b $ 的逆元。

由于辗转相除为一个递归的过程，为求得 $x$ ，需要在上述辗转相除法的基础上，需要找到相邻两步中 $\bm{a,b} $ 系数之间的关系。

已知最后一步中，若初始的 $a,b$ 互素，则有

$$b==0,\quad a=\mathrm{gcd}(a,b), $$

即

$$1*a_0+0*b_0={\rm gcd}(a,b), $$

$x_0=1,y_0=0. $

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假设 $n-1$ 步中，已知 $a_{n-1},b_{n-1} $ 的系数为 $x_{n-1},y_{n-1}$，即满足

$$x_{n-1}a_{n-1}+y_{n-1}b_{n-1}={\rm gcd}(a,b), $$

由于

$$a_{n-1}=b_n,\quad b_{n-1}=a_n{\rm mod} b_n, $$

代入前一公式，则有

$$\begin{aligned}&x_{n-1}a_{n-1}+y_{n-1}b_{n-1}\\&=x_{n-1}b_n+y_{n-1}(a_n{\rm mod} b_n)\\&=x_{n-1}b_n+y_{n-1}(a_n-(a_n//b_n)*b_n)\\&=y_{n-1}a_n+(x_{n-1}-y_{n-1}*(a_n//b_n))b_n\\&={\rm gcd}(a,b)\end{aligned} $$

则有

$$x_n=y_{n-1},\quad y_n=x_{n-1}-y_{n-1}*(a_n//b_n). $$

其中 $//$ 表示整除。

由于已有 $x_0,y_0 $，按照上述递推公式，可求得 $x_n,y_n $，其中 $x_n $ 即为 $a$ 关于模 $b $ 的逆元。

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算法实现：

def exgcd(a, b, x = 1, y = 0):
    """
    xa + by = gcd(a, b),求 a，b 的最大公因数
    :return: 最大公因数 r 与相应系数 x，y
    """
    if b == 0:
        x = 1
        y = 0
        return a, x, y
    r, x, y = exgcd(b, a % b, x, y)
    temp = y
    y = x - int(a/b)*y
    x = temp
    returnr, x, y

def get_moduloInv(a, m):
    """
    求 a 关于 m 的模逆元素，即满足 ax+bm=1,即 ax=1(mod m)
    """
    gcd, x, y = exgcd(a, m)
    if gcd != 1:
        print("a 没有关于 m 的逆元！")
        returnNone
    returnx % m

print(get_moduloInv(165151, 155454547))
"""
30186144
"""

 注：本文参考自：扩展欧几里得算法详解__Warning_的博客-CSDN博客_扩展欧几里得