P14549. [IO 2024 #3] 原始象棋

前言

据说正解是搜子打表。
但是分讨真的能过！

by Conan15 & Union_Find。

对着题目脑电波了半天才理解操作不能不动，原因是：

保证两个棋子位于不同的格子，且每个棋子都能走某一步棋。

Solution

不难特判掉一些简单和平凡的 Case。

先手一步杀后手。
两个象的 \(x+y\) 奇偶性不同（即永远无法相遇）。

然后凭直觉，棋盘越大活动范围就越大，所以猜测当 \(n,m \geq k\)（\(k\) 是某个定值）的时候一定是平局。

Case 1

考虑手玩小数据：\(n=2\) 或 \(m=2\)。

如果先手是车后手是象，必定可以躲开后手的攻击，所以 WIN。
如果先手是象后手是车，由于判了一步杀，所以它必定无法躲开后手的攻击，答案是 LOSE。
如果两者都是车，可以二人转，答案是 DRAW。
如果两者都是象，答案与它们相遇的操作步数（中间距离）相关，奇数则 WIN，偶数则 LOSE。

这些观察都是显然的。

Case2

由于象的活动范围相较车限制更强，所以考虑一般的两个象如何处理。注意此时它们奇偶性是相同的。

下文钦定 \(n \leq m\)。

观察到 \(n,m \geq 4\) 的时候空间足够大，可以让两个象二人转，所以我们讨论 \(n=3\) 的情况。

Case2.1

基于如下观察：

先手 LOSE，因为下一步被限定死了，被二步杀。
拓展一下，这种情况只要出现在 \(3 \times m\) 的两端，先手就寄了。

Case2.2

假定接下来蓝色为先手，红色为后手。

先手往 \((2,3)\) 逼近一格，后手无论走哪边，下一步先手都可以击杀后手，三步杀从而 WIN。
同理这种情况也可以出现在网格左右两边。

Case3

经过上述 Case，如果两个棋子类型相同，则必定可以通过二人转达到 DRAW 的局面。
接下来两个棋子类型不同。

Case4

循序渐进！考虑 \(n=m=3\) 的情况。
我们注意到车需要能攻击象的所有可到达位置，才能获得胜利。我们称这种局面为车“压住”象。

Case4.1

考虑 \(3 \times 3\) 网格先手为象。

Case4.1.1

当象在正中间，它可以在主副对角线任意移动，无论车如何牵制都不可能压住象，所以答案是 DRAW。

Case4.1.2

考虑象在某个角上，则后手有两种位置可以压住象。

以先手在 \((1,1)\) 为例，则后手有 \((2,3)\) 和 \((3,2)\) 两种位置可以压住象的所有移动位置。
此时先手 LOSE。同理其它三个角也分别有两种位置可以压住，不再赘述。

Case4.1.3

考虑象在其余位置（\(x+y\) 为奇数的位置）上。
此时象无法运动到中间位置，那么车只要占据中间位置象就必死，答案为 LOSE。

Case4.1.4

其余情况都是二人转，DRAW。

Case4.2

还是 \(3 \times 3\) 网格，考虑先手为车。

Case4.2.1

和之前一样，象在中间是 DRAW。

Case4.2.2

同样可以通过象的位置推断出车到哪些位置可以压住象。
只要判断车是否能通过一步移动到达这些位置之一即可，是则 WIN，不是则 DRAW。
这可以写个函数判断，详见代码。

Case4.2.3

其余情况 DRAW。

Case5

更一般的 \(n=3\) 情况怎么写呢？
由于象的活动范围被严格限制，我们猜测象一定输车一定赢。
这是对的，如果车先手可以先撤一步让象吃不到自己。
接着考虑车以如下策略把象往某一边赶（设先手是象，后手是车）：

先手往左上方走：

先手 \((1,3)\)，后手 \((2,5)\)。
先手 \((3,1)\)，后手 \((2,3)\)。

先手往右下方走：

先手 \((3,5)\)，后手 \((2,3)\)。
先手被压住了，这样对先手不优，所以先手一定往左上方走。

当先手不断选择往左上奏，走到边界必定被压住，因此象必败车必胜。

Case6

还是 WA 了，怎么回事呢。
那就继续分讨：考虑 \(n=m=4\) 的情况。

Case6.1

先手是象。

Case6.1.1

先手是象，和 Case4 类似的，如果在中间 \(2 \times 2\) 四格则车压不住它，答案是 DRAW。
同理，如果在对角线上也压不住。因为象一次可以飞三个点，车压不住三个点，答案也是 DRAW。

Case6.1.2

通过手玩，我们可以发现如下情况：

如果初始状态是象先手，车在 R 位置，无论象走哪里下一步都会被吃，我们称它为二步杀。
考虑如果车改为 R2 位置，象为了第一步不被吃只能走到 \((1,2)\)，然后车只要左移一步就恢复了二步杀的局面，因此象也是必败。

同理的，对于在某一边缘的中间两格的象，都有两个位置放车使得它 LOSE，另外 \(7\) 种情况是对称的，故不再赘述。

Case6.1.3

又 WA 了怎么回事呢。
~~通过下载数据~~，我们发现：

这种情况比较难，但是如果车走到 \((3,4)\) 并且象仍在 \((1,2)\)，下一步象先手，那么车就赢了。
原因是：

象肯定不能走 \((2,3)\)，否则会被二步杀。
象如果走 \((2,1)\)，车左移到 \((4,2)\) 接一个二步杀；象如果走 \((3,4)\)，车上移到 \((1,3)\) 接一个二步杀，因此车必胜，我们称这种为“三步杀”。

考虑怎么在不改变象的位置的前提下将车从 \((1,3)\) 移动到 \((4,3)\)，并且下一步还是象先手。
若象走了 \((2,1)\)，那么车压 \((3,3)\)，接下来象只能退回 \((1,2)\)，车借机继续往下到 \((3,4)\)，接一个三步杀。
若象走了 \((3,4)\)，车压 \((3,3)\)，象退回 \((1,2)\)，车继续往下到 \((3,4)\)，接一个三步杀。

因此这种情况先手象是 LOSE 的。

Case6.1.4

~~通过换一个号下载数据~~，有如下 hack：

此时先手象显然只能走 \((3,4)\)，考虑让车向左到 \((1,2)\)，接着局面长这样（依然象先手）：

哎你会发现这和 Case6.1.3 的第二张图是同一个东西啊，先手象 LOSE。
总结一下 Case6.1.3 和 Case6.1.4 就是：如果象在边缘的中间两格，车和它相邻且不在四角，那么先手象必败。

Case6.1.5

剩下情况二人转平局。

Case6.2

先手改为车，其实是同理的。

Case6.2.1

如果后手象在中间四格或角落，车压不住，答案是 DRAW。

Case6.2.2

可以把 Case6.1 打包成一个 check 函数，然后遍历车可以走的所有位置扔进去 check，有一个能赢就是 WIN，否则是 DRAW 因为显然车不会输。

Case7

既然讨论了 \(4 \times 4\)，当然也要讨论 \(n=4\) 时一般的 \(4 \times m\) 网格怎么决策。

Case7.1