QOJ 10174. Lost Table

Statements

有一个 \(n \times m\) 的矩阵，现在你知道每行的最大值 \(a_i\) 和每列的最大值 \(b_i\)，求有多少种满足条件的矩阵。

Solution

交换行和交换列对答案无影响，所以先对 \(a,b\) 排序。
设 \(c_{i,j} = \min(a_i, b_j)\) 即 \((i,j)\) 填数的上界。
考虑排序后 \(c\) 矩阵形成了若干个 L 形的东西，里面的数相同，假设为 \(t\)：

则总共有 \(S=am+bn-ab\) 个数为 \(t\)。
注意这里的 \(n,m\) 指的是 L 形的边长而不是原题大矩阵的边长。

然后考虑容斥计算“每个位置都 \(\leq t\) 且每行每列至少有一个为 \(t\)”的方案数。
设 \(g_{i,j}\) 为至少有 \(i\) 行 \(j\) 列没有元素顶到最大值的方案数，\(f_{i,j}\) 为恰好，容斥推一下可以得到对于 \(t\) 的答案：

\[\sum\limits_{i=0}^{a} \sum\limits_{j=0}^{b} (-1)^{i+j} \binom{a}{i} \binom{b}{j} t^{im+jn-ij} (t+1)^{S-im+jn-ij} \]

可以做到 \(O(nm \log nm)\)，提出和 \(i\) 相关项：

\[\sum\limits_{i=0}^{a} (-1)^{i} \binom{a}{i} (t+1)^{S} \sum\limits_{j=0}^{b} (-1)^{j} \binom{b}{j} (\frac{t}{t+1})^{im+jn-ij} \]

\[\sum\limits_{i=0}^{a} (-1)^{i} \binom{a}{i} (t+1)^{S} (\frac{t}{t+1})^{im} \sum\limits_{j=0}^{b} (-1)^{j} \binom{b}{j} \Big[(\frac{t}{t+1})^{n-i}\Big]^{j} \]

发现后面的 \(\sum\) 是一个二项式定理：

\[\sum\limits_{i=0}^{a} (-1)^{i} \binom{a}{i} (t+1)^{S} (\frac{t}{t+1})^{im} \Big(1 - (\frac{t}{t+1})^{n-i}\Big)^{b} \]

于是做到了 \(O((n+m) \log nm)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 5, mod = 1e9 + 7;
int n, m, a[N], b[N], arr[N << 1], tot;

inline int qmi(int a, long long k) {
	int res = 1;
	while (k) {
		if (k & 1) res = res * 1ll * a % mod;
		a = a * 1ll * a % mod, k >>= 1;
	} return res;
}
int fac[N], inv[N];
inline void init() {
	fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= 200000; i++) fac[i] = fac[i - 1] * 1ll * i % mod;
	inv[200000] = qmi(fac[200000], mod - 2);
	for (int i = 199999; i >= 0; i--) inv[i] = inv[i + 1] * 1ll * (i + 1) % mod;
}
inline int C(int n, int m) { return fac[n] * 1ll * inv[m] % mod * 1ll * inv[n - m] % mod; }

int main() {
	init();
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), a[i]--, arr[i] = a[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &b[i]), b[i]--, arr[i + n] = b[i];
	sort(a + 1, a + 1 + n), sort(b + 1, b + 1 + m);
	sort(arr + 1, arr + 1 + n + m), tot = unique(arr + 1, arr + 1 + n + m) - arr - 1;

	int x = 1, y = 1;
	long long ans = 1;
	for (int e = 1; e <= tot; e++) {
		int a = 0, b = 0, t = arr[e];
		int nn = n - x + 1, mm = m - y + 1;
		while (x <= n && ::a[x] == t) x++, a++;
		while (y <= m && ::b[y] == t) y++, b++;
		long long S = a * 1ll * mm + b * 1ll * nn - a * 1ll * b, base = t * 1ll * qmi(t + 1, mod - 2) % mod;
		long long res = 0;
		for (int i = 0; i <= a; i++) {
			long long v = qmi(mod + 1 - qmi(base, nn - i), b);
			if (i & 1) v = mod - v;
			(v *= C(a, i)) %= mod, (v *= qmi(t + 1, S)) %= mod, (v *= qmi(base, i * 1ll * mm)) %= mod;
			(res += v) %= mod;
		}
		(ans *= res) %= mod;
	} printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}