递推求逆元证明

递推求 $[1, n-1]$ 模质数 $p$ 意义下的逆元。
注：下文用 $inv_i$ 表示 $i$ 的逆元。

存在一个表达式 $p = k \times i + r$。
其中 $k = \lfloor \frac{p}{i} \rfloor$，$r = p \bmod i$。
即 $k \times i + r \equiv 0 \ \pmod p$。
可得 $r \equiv -k \times i \ \pmod p$。
两边同时乘 $i^{-1}r^{-1}$，得：
$r \times inv_r \times inv_i \equiv -k \times i \times inv_r \times inv_i \pmod p$。
化简得：
$inv_i \equiv -k \times inv_r \ \pmod p$
由于 $-k \equiv p - k \pmod p$，
得递推式：
$inv_i = (p - k) \times inv_r \bmod p$
$= (p - \lfloor \frac{p}{i} \rfloor) \times inv_{p \bmod i} \bmod p$