【专题笔记】快速沃尔什变换 FWT

一、快速沃尔什变换-简介

我们知道，FFT（快速傅里叶变换）用于解决一类形如 \(C_k = \sum\limits _{i+j=k} A_i \times B_j\) 的问题。
至于形如 \(C_k = \sum\limits _{i \oplus j=k} A_i \times B_j\) 的问题，我们称其为位运算卷积，可以用 FWT（快速沃尔什变换）在 \(O(n \log n)\) 的时间复杂度内解决。

快速沃尔什变换 与 快速傅里叶变换 解决的问题很像，思路也大致相同。
总体思路：先对多项式正变换，再按位相乘，再逆变换。

二、一些约定

这里先约定如下运算：
\(A+B\) 表示多项式按位相加。
\(A-B\) 表示多项式按位相减。
\(A*B\) 表示多项式按位相乘。
\((A,B)\) 表示 \(A\) 和 \(B\) 直接拼接。

三、或运算卷积

\[\large C_k = \sum\limits _{i ~|~ j=k} A_i \times B_j \]

显然对于或运算，有如下性质：\(j ~|~ i=i,k ~|~ i=i \rightarrow (j ~|~ k) ~|~ i=i\)。
因此我们构造 \(FWT(A)_i=\sum_{j ~|~ i=i} A_j\)。

于是：

\[\begin{aligned} FWT(A) \times FWT(B) &= (\sum_{j ~|~ i=i} A_i) \times (\sum_{k ~|~ i=i} B_i)\\ &=\sum_{j ~|~ i=i}\sum_{k ~|~ i=i} A_j \times B_k\\ &=\sum_{(j ~|~ k) ~|~ i=i} A_j \times B_k\\ &=FWT(C)\\ \end{aligned} \]

正变换：\(A \rightarrow FWT(A)\)

我们约定 \(A\) 的长度为 \(2^n\)，设 \(A_0\) 表示前 \(2^{n-1}\) 项，\(A_1\) 表示后 \(2^{n-1}\) 项。

性质 1

\(FWT(A) + FWT(B) = FWT(A + B)\)

证明：

\(FWT(A)_i=\sum_{j ~|~ i=i} A_j\)
\(FWT(B)_i=\sum_{j ~|~ i=i} B_j\)
\(FWT(A + B)_i = \sum_{j ~|~ i=i} A_j + B_j = \sum_{j ~|~ i=i} A_j + \sum_{j ~|~ i=i} B_j = FWT(A) + FWT(B)\)

---

$FWT(A)=\left{
\begin{aligned}
& (FWT(A_0, FWT(A_0)+FWT(A_1)) & (n > 0) \
& A & (n = 0) \
\end{aligned}
\right.
$

证明（含解析）：

FWT 和 FFT 非常类似，所以考虑同样用分治解决，把 \(A\) 分为 \(A_0\) 和 \(A_1\)。
FWT 的定义式中，相当于是一个枚举子集的过程。

• 观察到 \(A_0\) 中每一位下标的最高位一定是 \(0\)，所以它的子集只能是它自己，即 \(FWT(A_0)\)。
• 而 \(A_1\) 最高位是 \(1\)，所以它要包含它自己和 \(A_0\)，即 \(FWT(A_0) + FWT(A_1)\)。

于是就可以直接进行正变换了。

相乘证明

为什么正变换之后直接按位乘就可以了？

\[\begin{aligned} FWT(C)_i &= \sum_{j \subseteq i} C_j\\ &=\sum_{j \subseteq i}\sum_{x ~|~ y=j} A_x \times B_y\\ &=\sum_{(x ~|~ y) \subseteq i} A_x \times B_y\\ &=\sum_{x \subseteq i} A_x \times \sum_{y \subseteq i} B_y\\ &=FWT(A)_i \times FWT(B)_i \\ \end{aligned} \]

于是我们已经完成了正变换 \(A \rightarrow FWT(A)\) 和求解 \(FWT(C)\)，接下来就是逆变换 \(FWT(C) \rightarrow C\)。

逆变换：\(FWT(A) \rightarrow A\)

这里将逆变换称为 \(IFWT\)，满足 \(A=IFWT(FWT(A))\)。
上次经过变换前的是 \(A\)，这次变换前的就是 \(FWT(A)\)，所以这次我们把 \(FWT(A)\) 分成 \(FWT(A)_0\) 和 \(FWT(A)_1\)。
其实逆变换只要反着做就行了。

显然，\(A_0\) 只由 \(FWT(A)_0\) 变换得到。
而 \(A_1\) 由 \(FWT(A)_1 - FWT(A)_0\) 得到，因为 \(FWT(A)_1\) 包含了下标在二进制下最高位分别为 \(0\) 和 \(1\) 的状态，而我们只要 \(1\)，所以要扣掉多余的贡献。

即 \(IFWT(A) = (IFWT(A_0), IFWT(A_1) - IFWT(A_0))\)
这里的 \(A\) 实际上代表 \(FWT(A)\)，即正变换后的结果，这里写成了一般式而已。

或运算卷积-代码

如下代码将对 \(a\) 数组进行变换，为了使代码更加简洁，\(op\) 的正负性表示正变换或逆变换，因为它们本质相同，只是正负号改变。

void Or(int *a, int op) {
    for (int len = 1; len < (1 << n); len <<= 1)
        for (int i = 0; i < (1 << n); i += (len << 1))
            for (int j = 0; j < len; j++) (a[i + j + len] += a[i + j] * op + mod) %= mod;
}

四、与运算卷积

\[\large C_k = \sum\limits _{i \& j=k} A_i \times B_j \]

由于是与运算，所以这里重新定义 \(FWT(A)_i=\sum_{j \& i=j} A_j\)，即 \(j\) 是 \(i\) 的子集。

性质 1

\(FWT(A) + FWT(B) = FWT(A + B)\)

证明：

与或运算大致相同。

正变换 \(A \rightarrow FWT(A)\)

$FWT(A)=\left{
\begin{aligned}
& (FWT(FWT(A_0)+FWT(A_1), A_1) & (n > 0) \
& A & (n = 0) \
\end{aligned}
\right.
$

证明（含解析）：

• 同理，\(A_0\) 中每一位下标的最高位一定是 \(0\)，最高位 \(0 \& 1 = 0\)，所以 \(FWT(A_1)\) 也要加上贡献，即 \(FWT(A_0) + FWT(A_1)\)。
• \(A_1\) 最高位是 \(1\)，所以它只有它自己的子集，即 \(FWT(A_1)\)。

相乘证明

与 或运算卷积 是很类似的。
注意下标的不同。

\[\begin{aligned} FWT(C)_i &= \sum_{i \subseteq j} C_j \\ &=\sum_{i \subseteq j}\sum_{x ~|~ y=j} A_x \times B_y \\ &=\sum_{i \subseteq (x ~|~ y)} A_x \times B_y \\ &=\sum_{i \subseteq x} A_x \times \sum_{i \subseteq y} B_y \\ &=FWT(A)_i \times FWT(B)_i \\ \end{aligned} \]

逆变换：\(FWT(A) \rightarrow A\)

这次仍然把 \(FWT(A)\) 分成 \(FWT(A)_0\) 和 \(FWT(A)_1\)，还是反着做。

\(A_0\) 由 \(FWT(A)_0 - FWT(A)_1\) 得到，因为 \(FWT(A)_0\) 包含了下标在二进制下与运算最高位分别为 \(0\) 和 \(1\) 的状态，而我们只要 \(0\)，所以要扣掉多余的贡献。
\(A_1\) 就只能从子集转移而来了。

即 \(IFWT(A) = (IFWT(A_0) - IFWT(A_1), IFWT(A_1))\)
这里的 \(A\) 实际上代表 \(FWT(A)\)，即正变换后的结果，这里写成了一般式而已。

与运算卷积-代码

如下代码将对 \(a\) 数组进行变换，为了使代码更加简洁，\(op\) 的正负性表示正变换或逆变换，因为它们本质相同，只是正负号改变。

void And(int *a, int op) {
    for (int len = 1; len < (1 << n); len <<= 1)
        for (int i = 0; i < (1 << n); i += (len << 1))
            for (int j = 0; j < len; j++) (a[i + j] += a[i + j + len] * op + mod) %= mod;
}

五、异或运算卷积

\[\large C_k = \sum\limits _{i \oplus j=k} A_i \times B_j \]

这里用一个比较玄学的定义方式：\(FWT(A)_i=\sum\limits_{j=0}^{2^n-1} (-1)^{c(i \& j)} A_j\)。
其中 \(c(i)\) 表示 \(i\) 二进制下 \(1\) 的个数对 \(2\) 取模的结果。
并约定 \(\oplus\) 为异或。

性质 1

\(FWT(A)_i = \Big( \sum\limits_{c(i \& j) \bmod 2 = 0} A_j \Big) - \Big( \sum\limits_{c(i \& j) \bmod 2 = 1} A_j \Big)\)

有 \(c(i \& j) \oplus c(i \& k) = c(i, j \oplus k)\)。

证明：

无非就是奇偶性拆开罢了。

相乘证明

\[\begin{aligned} FWT(A) FWT(B) &= \Bigg[ \Big( \sum\limits_{c(i \& j) \bmod 2 = 0} A_j \Big) - \Big( \sum\limits_{c(i \& j) \bmod 2 = 1} A_j \Big) \Bigg] \Bigg[ \times \Big( \sum\limits_{c(i \& k) \bmod 2 = 0} B_k \Big) - \Big( \sum\limits_{c(i \& k) \bmod 2 = 1} B_k \Big) \Bigg] \\ &= \sum\limits_{c(i \& j) \oplus c(i \& k) = 0} A_j B_k - \sum\limits_{c(i \& j) \oplus c(i \& k) = 1} A_j B_k \\ &= \sum\limits_{c(i \& (j \oplus k) = 0} A_j B_k - \sum\limits_{c(i \& (j \oplus k) = 1} A_j B_k \\ &= FWT(C) \end{aligned} \]

正变换 \(A \rightarrow FWT(A)\)

$FWT(A)=\left{
\begin{aligned}
& (FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1)) & (n > 0) \
& A & (n = 0) \
\end{aligned}
\right.
$

逆变换：\(FWT(A) \rightarrow A\)

\[IFWT(A)=(\frac{IFWT(A_0)+IFWT(A_1)}{2}, \frac{IFWT(A_0)-IFWT(A_1)}{2}) \]

异或运算卷积-代码

如下代码将对 \(a\) 数组进行变换，为了使代码更加简洁，\(op\) 为 \(1\) 表示正变换，为 \(\frac{1}{2}\) 表示逆变换，因为它们本质相同，只是参数改变。

void Xor(int *a, int op) {
    for (int len = 1; len < (1 << n); len <<= 1)
        for (int i = 0; i < (1 << n); i += (len << 1))
            for (int j = 0; j < len; j++) {
                int x = a[i + j], y = a[i + j + len];
                (a[i + j] = (x + y) * op % mod + mod) %= mod;
                (a[i + j + len] = (x - y) * op % mod + mod) %= mod;
            }
}