数学总结 3（线性代数、行列式）

零、目录

线性基
线性空间
行列式
- 矩阵树定理
矩阵求逆

一、线性基

线性基是数据结构啊，可是既然它在线性代数题单里，~~那它就是线性代数吧~~。
事实上确实可以用接近于线性代数的思维理解。
~~DS 滚出数学。~~

引入

考虑如下的问题：

给定 $n$ 个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。
$ 1 \leq n \leq 50, 0 \leq S_i < 2 ^ {50} $。

线性基是一种擅长处理异或问题的数据结构。
首先考虑异或的本质：不进位加法。

考虑把一个数（例如 $5$）写成二进制形式：$(0101)_2$。
然后把它写成向量形式：$\{0, 1, 0, 1\}$。
然后两个数 $x,y$ 异或，相当于它们每一位做不进位加法，有相当于它们的向量相加，但是每一维都在 $\bmod 2$ 意义下。

回到本题：
相当于现在有 $n$ 个向量 $v_1, v_2, \dots, v_n$，需要给每个向量赋值 $a_i$ 为 $0$ 或 $1$，计算 $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n$ 的所有可能结果和字典序最大的结果。

线性基的思想就是找到一组基，使得它能表示出的向量与 $\{ v_1, v_2, \dots, v_n \}$ 能表示出的向量集合是一样的。

举一个特殊例子：已知 $\{x,y\}$，它能表示出的有 $\{0, x, y, x \oplus y\}$。然而 $\{x, x \oplus y\}$ 也恰好表示出这个集合，因此它是一组合法的基。
也就是 $a_i \oplus a_j$ 之后，这个序列能表示的集合不变，此时我们不妨称这样的操作为一次等价变换。
线性基就是不断通过等价变换，让这些向量变得尽量简单或有规律。

如何让它变得有规律？线性基通过限制基的最高位互不相同解决了这件事情。
具体地，假设现在基中已有元素 $10010$ 和 $01001$，现在要插入 $11101$。
由于当前插入的元素做任意次等价变换，表示的集合依然不变，所以可以把它和基中的元素异或。

第一轮：最高位已经在基内，执行 $11101 \oplus 10010 = 01111$。
第二轮：最高位已经在基内，执行 $01111 \oplus 01001 = 00110$。
第三轮：最高位不在基内，直接把 $00110$ 插入线性基即可。

因此我们在执行插入操作的时候只关心最高位是否出现。

简单操作 & Code

学会了思路之后代码是好写的。
记录 base[i] 表示以 $i$ 为最高位的基底元素。
按照之前的插入流程模拟即可，时空复杂度均为 $O(\log n)$。
设位数为 $m$，若位数很多则复杂度为 $O(\frac{m^2}{\omega})$，因为要遍历每一位，还要异或，可以用 bitset 优化。

bool chk(long long x, int i) { return (x >> i) & 1; }
void insert(long long x) {
    for (int i = 50; i >= 0; i--) {
        if (!chk(x, i)) continue;
        if (!base[i]) return base[i] = x, void();
        x ^= base[i];
    }
}

其实这个过程很像高斯消元，类似于消成上三角形式，也就是把对角线下面全部异或为 $0$。

求异或可得最大元素

类似于 Trie 树上贪心二分，从高往低能取 $1$ 就取 $1$。

long long querymx() {
    long long res = 0;
    for (int i = 50; i >= 0; i--) res = max(res, res ^ base[i]);
    return res;
}

求 $x$ 是否可以被表示为异或和

也是贪心，尽量异或掉多的位。
如果最后被消成 $0$ 说明可以被表示。

bool querycan(long long x) {
    for (int i = 50; i >= 0; i--) x = min(x, x ^ base[i]);
    return (x == 0ll);
}

例 1：HDU3949 XOR

给定 $n$ 个正整数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，求这些数异或表示出的数的集合中，第 $k$ 小的是多少（不能选空集）。

事实上和模板几乎一样。
还是考虑从高位到低位贪心确定，首先如果基内有 $c$ 个元素，那么它们可以组合出 $2^c$ 种数。
那么我们只要考虑 $k$ 和 $2^{c-1}$ 的关系就知道这一位是 $0$ 还是 $1$ 了。

具体地，设到当前确定的数为 $x$，到了第 $u$ 位，接下来还有 $c$ 个基要处理（因为有一些位的基可能不存在所以要记录 $c$）。
如果 $x$ 的第 $u$ 位已经是 $1$，那么选上这一位的基底会让 $x$ 更小，不选会更大，根据 $k$ 属于哪边递归求解。

这样写代码真的很丑……但有一种更优雅的做法可以让代码变得较为简单。
考虑按照之前的方法求出的基如何再简化：相当于拿高位的基再和低位的基异或，把高位基消掉尽可能多低位的 $1$。
说着挺绕的，但事实上按照高斯消元的思维模式很好理解：

这样的一组基，我们把上面的不断异或掉下面的，就会得到：

这样转化有什么用？
这样每一组基的最高位，在矩阵上的位置设为 $(x,y)$，则 $(x,y)$ 上方一定都是 $0$，因为它之前的基一定可以通过异或它把这一位消掉。
相当于少一层分讨，因为不需要特判 $x$ 的第 $u$ 位是否是 $1$ 了，选了一定更大，不选一定更小。
因此将询问 $k$ 的二进制表示为 $1$ 的那些基底异或起来就是答案。
因为之前 $mid = 2^{c-1}$，所以要把全 $0$ 行删掉再给 $k$ 做二进制分解，也就是删掉 base 中为 $0$ 的元素。

由于不能选空集，还需要特判线性基中的元素能否构成 $0$。
这是简单的，可以用 map 维护，但是更省事的方法是：如果一个元素插入线性基失败，说明它可以被表示为之前元素的异或和，因此一定有一种方案使得选出的元素异或和为 $0$。

Code.

例 2：洛谷 P4151 WC2011 最大XOR和路径

好神秘的题目。
~~看到异或和最大可以联想到 Trie 树？~~不对啊这题怎么 Trie 都不是很正经。
但这正是线性基擅长处理的问题类型。

发掘异或的性质：对于这张图上的环，我们一定可以任意决定它选或不选。
为什么？考虑先从起点 $1$ 开始搜一下 dfs 树，则非树边都是返祖边，且它和一部分树边构成环。
如果我们需要选一个环，可以考虑从 $1$ 开始，先到达环的顶部，然后沿着树边走到环底部，再通过返祖边绕回来，最后回到起点 $1$，此时产生的异或和就是环异或和。

但是需要 $1$ 走到 $n$，那就是 dfs 树上 $1 \to n$ 的异或和了。
求异或最大值，只需要把所有返祖边构成的环扔进线性基，查询 $dis_n$ 即树上异或和能构成的最大数。
环的数量等于返祖边数量，是 $O(m)$ 级别的；线性基也就多一个 $\log$，可以通过。

Code.

例 3：CF251D Two Sets

已知一个序列 $a_1,a_2, \dots, a_n$，把它分成两个集合 $S_1,S_2$，使得两个集合内元素异或和之和尽量大，在使得这个值最大的前提下让 $S_1$ 内的异或和尽量小，求具体的分配集合方案。

考虑异或对答案有什么具体的影响。
首先全集 $a$ 是已知的，所以全集异或和等于 $S_1,S_2$ 异或和也是已知的，我们记它为 $sum$。
若 $sum$ 第 $i$ 位为 $1$，则无论如何分配 $S_1,S_2$ 这一位一定至少有一个 $1$，所以它对答案是没有影响的。
若 $sum$ 第 $i$ 位为 $0$，则这一位在 $S_1,S_2$ 中可能是 $0,0$ 也可能是 $1,1$。
下文称这两种分别为“$0$ 位”和“$1$ 位”，考虑把无影响的 $1$ 位和有影响的 $0$ 位分开计算。
但是 $0,1$ 位内部是有权值大小顺序的。

综上我们构造出这样一种合法的转化：

设高位为“前面”，低位为“后面”。
则我们把所有 $0$ 位按照从高到低的顺序放在前面，所有 $1$ 位按照从高到低的顺序放在后面。
这样转化可以保证位之间的优先贪心顺序，而且能转化为更加便于贪心的形式。

至于构造方案，只需要记录线性基内每一个元素由原序列哪些元素异或得到即可。

Code.

例 4：CF895C Square Subsets

给定长度为 $n$ 的序列 $a$，求有多少种选非空集合的方式可以使得选出的集合内，元素之积是完全平方数。

简单题。
容易想到给每个 $a_i$ 质因数分解，观察到值域 $\leq 70$，所以质因子数量很少。
然后完全平方数相当于每个指数幂指数都为偶数，所以考虑记录 $\bmod 2$ 意义下的指数。
乘积相当于指数相加，体现在 $\bmod 2$ 意义下就是异或，求有多少种选集合方法使得异或和位 $0$，这很容易想到用线性基维护。
若有 $c$ 个元素插入失败，则答案显然为 $2^c - 1$。因为插入失败的元素随便选，一定有唯一的线性基元素选或不选的状态和它对应；要 $-1$ 因为不能选空集。

例 5：洛谷 P3292 SCOI2016 幸运数字

给定一棵 $n$ 个点的树，点有点权 $\lt 2^{60}$，$q$ 次询问路径 $(u,v)$ 上任选点权，异或得到最大的权值。

看到选择元素，使得异或和最大自然想到线性基。
然后这是路径，考虑和主席树一样可持久化……可持久化线性基？开始玄幻了。
如果记录每个点到根的线性基呢？但线性基不能执行删除操作，也做不了。
……

既然不能删除那就直接合并。
~~暴力遍历路径上每个点然后扔进线性基。~~这显然不对。
能否通过记录一些额外的信息使得查询速度更快？例如多维护一些线性基。
那得先考虑如何合并两个线性基？显然直接暴力把一个线性基中的元素插入另一个线性基即可。

然后我们做一个类似于求 LCA 的事情：倍增。
对于每个点，我们存储它往上跳 $[0,2^k)$ 步到达点的集合的线性基，这样空间复杂度 $O(n \log n \log V)$。
查询就直接暴力跳倍增即可，这样总时间复杂度是 $O((n + q) \log n \log^2 V)$。

看上去有点悬。
复杂度瓶颈在哪里？在于询问的次数 $q$ 比较大。
但异或有一个很优美的性质：“对消”——$x \oplus x = 0$。
因此这类似于 RMQ 问题，对于 RMQ 的查询 $[l,r]$，只需要拿出 $[l,l+2^k)$ 和 $(r-2^k,r]$ 的倍增结果 $O(1)$ 合并即可。
那么对于 $(u,lca)$ 这条路径也一样，做一个类似于 ST 表的操作就可以 $O(\log^2 V)$ 合并出答案，另外一边 $(v,lca)$ 同理。
这样总复杂度就降到了 $O(n \log n \log^2 V + q \log^2 V)$。

Code.

例 6：洛谷 P4570 BJWC2011 元素

给定若干个二元组 $(a_i, b_i)$，要求选出一个集合 $S$。满足 $S$ 的 $b_i$ 之和最大，且满足不存在 $S$ 的一个非空子集 $S'$ 使得 $S'$ 内 $a_i$ 的异或和为 $0$。

顺便提一下，不存在异或和为 $0$ 称为线性无关。

贪心地，对于一个相同的 $a$ 我们肯定取最大的 $b$。
然后异或和为 $0$ 联想到使用线性基。
能否 DP，问题来了这题无论怎样设计状态都不像可以优化的样子。

考虑一个集合 $S$，它内部 $a_i$ 异或和为 $0$ 且不存在一个非空子集 $S'$ 满足 $S'$ 的异或和为 $0$。
那么只要从 $S$ 中任意删除一个元素就可以满足条件。
贪心地，肯定删除最小的元素。

把这个结论反过来做，就是把二元组按照 $b$ 排序，能加入线性基就加入。
类似于 MST 的 Kruskal 求解过程，只要加入不会形成环就加入。

例 7：洛谷 CF1100F Ivan and Burgers

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，$q$ 次询问 $[l,r]$ 内选数的最大异或和。
$n, q \leq 5 \times 10^5, a_i \leq 10^6$。
3s，512 MB

很简单啊，直接 RMQ 就做完了。
~~然后太冲动了直接 Coding 所导致的忘记算空间了。~~
ST 表再内套一个线性基直接 $O(n \log n \log V)$，空间复杂度起飞了，算了下大概 700 多 MB 的样子。
于是交上去喜提 MLE On Test #1，老实了。

正解完全没有半点头绪，于是开始卡空间，然后发现这玩意儿不能开 short……
但是注意到如果可以时间换空间那就很强了，因为 $5 \times 10^8$ 空间开不下但可以跑得过。
去问了一下，发现原来是我没学过猫树分治 (lll￢ω￢)。

可能和网上的版本有些差别？~~因为没有仔细学，了解思想之后直接现推了。~~
ST 表能解决的问题猫树都能解决，不同于 ST 表的倍增，猫树的基本思想是分治，大致可以理解为是 ST 表和线段树的结合。
由于结合了 ST 表，它一般不支持修改操作，但可以通过离线等方式快速处理询问，再拼接成答案。

具体地，它的分治树长得和线段树几乎一样，对于一次询问 $[l,r]$，我们需要寻找一个树上区间 $[L,R]$，使得 $L \leq l \leq mid \lt mid + 1 \leq r \leq R$。
然后对于树上的每个区间 $[L,R]$，考虑记录它的前后缀答案，对于一次询问只需要合并 $[L,mid]$ 和 $[mid+1,R]$ 两个区间的后缀、前缀答案。

对于这题，考虑把问题离线下来，先找到 $[l,r]$ 对应的 $[L,R]$ 把询问插入这个区间，然后对每一个区间计算前后缀的线性基。
由于猫树深度是 $O(\log n)$ 的，所以这样做的复杂度是 $O(n \log n \log V)$，$\log V$ 是线性基插入元素复杂度。
查询可以直接合并两个线性基，做到 $O(\log^2 V)$。

感觉写的会非常抽象……因为没有看过猫树的正统写法，随手胡的代码。
~~事实上并不抽象，甚至几乎一遍过。~~

Code.

二、线性空间

~~不是，学这玩意儿到底有啥用啊。~~

定义 & 引入

OI-Wiki 虽然定义得严谨，但是看上去好神秘啊。
并不严谨但比较通俗地说，之前线性基元素通过异或能表示的数的集合就是一个线性空间。
二维空间、三维空间实际上都是都是线性空间。即 $(x,y)$ 向量可以做加法、数乘运算，得到二维空间、三维空间。
之前的线性基事实上就是 $k$ 维的基，类似于二三维空间，但运算在 $\bmod 2$ 意义下进行。

类似地，可以把 $\bmod 2$ 推广到 $\bmod m$，即 $m$ 进制数，每一位 $\in [0,m)$。
对于一组基 $\{ v_1, v_2, \dots, v_k \}$，也可以通过和之前二进制类似的方法求出 $a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_kv_k$ 的最大值（不断消低位）。

三、行列式

~~这个又有什么道理要学它啊。~~

定义

对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $：

\[A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k,1} & a_{k,2} & \cdots & a_{k,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{bmatrix} \]

行列式的值就是：

\[|A| = \sum_{p} (-1)^{\tau(p)} \prod_{k=1}^{n} a_{k,p_k} \]

其中 $p$ 是 $1$ 到 $n$ 的排列，$\tau(p)$ 表示 $p$ 的逆序对数量。
也就是枚举所有的排列 $p$，然后把第 $k$ 行第 $p_k$ 列的所有元素乘起来，根据 $p$ 的逆序对数量决定系数是 $-1$ 还是 $1$。

性质

性质 1

矩阵任意一行或任意一列 $\times t$，则行列式的值 $\times t$。

根据值的定义式，一定有且仅有一个 $a_{k,p_k}$ 被 $\times t$，所以最后行列式的值 $\times t$。

性质 2

交换矩阵任意两行或任意两列，行列式的值取反。

假设交换第 $i$ 行和第 $j$ 行，对于交换列推导类似。
相当于是交换排列中的 $p_i, p_j$。
对于后面乘积部分是不会影响的，因为元素只发生了交换，没有修改。
所以考虑 $\tau(p)$，即逆序对奇偶性的改变。

首先对于 $i,j$ 本身的交换，逆序对一定恰好变化 $1$。
然后考虑 $i,j$ 与其它数构成的逆序对，只有在 $(i,j)$ 区间内的数可能会影响，推导可以得到它们的变化量为偶数。
因此逆序对奇偶性一定变化，行列式的值取反。

性质 3

若矩阵存在任意两行相同，或任意两列相同，则行列式的值为 $0$。

性质 2 的推论，交换后为相反数，但是又相同，所以是 $0$。

性质 4

若矩阵存在任意两行或任意两列，所有元素成比例，则行列式的值为 $0$。

性质 3 结合性质 1，对其中一行或一列进行等比例扩大或缩小，就可以得到两行或两列相同了。

性质 5

若矩阵 $A$ 的第 $i$ 行（列）等于 $m$ 个矩阵 $B_1,B_2, \dots, B_m$ 第 $i$ 行（列）之和，其它位置都相等，那么 $|A| = \sum\limits_{i=1}^{m} |B_i|$。

考虑 $m=2$，有 $|A| = |B_1| + |B_2|$，再推广到 $m \gt 2$ 个矩阵的情况。
按照定义式把第 $i$ 行单独提出来，然后再分配律合并 $B_1,B_2$ 的式子就可以得到 $A$ 的式子。

性质 6

若把矩阵某一行所有元素 $\times t$ 之后再加到另一行，则行列式的值不变；列同理。

假设是 $A$ 矩阵第 $i$ 行的 $\times t$ 之后加到第 $j$ 行，那么：
根据上一条性质，构造另一个矩阵 $B$，使得第 $j$ 行是 $A$ 矩阵第 $i$ 行的元素集体 $\times t$ 的结果，其它行都一样。
那么相当于是求证 $|A|=|A|+|B|$。
事实上 $|B|$ 显然为 $0$，因为 $B$ 中第 $i$ 行和第 $j$ 成比例，根据性质 4 它的值为 $0$。

性质 7

定义余子式：设矩阵 $A$ 删掉第 $i$ 行第 $j$ 列之后的矩阵是 $B_{i,j}$，称其为余子式。
定义代数余子式：$C_{i,j} = -1^{i+j} B_{i,j}$。

对于矩阵 $A$ 任意一行或任意一列，计算所有元素与它对应代数余子式之积的和，得到的结果等于行列式的值。

假定矩阵是 $n \times n$ 的，我们对矩阵 $A$ 的第 $i$ 行进行计算，列同理。
考虑把 $A$ 拆成 $n$ 个矩阵 $M(1),M(2),\dots,M(n)$，使得每个矩阵除了第 $i$ 行都和 $A$ 一样，且满足第 $j$ 个矩阵 $M(j)$ 的第 $i$ 行除了 $M(j)_{i,j} = A_{i,j}$，其它都为 $0$。
显然根据性质 $5$，矩阵 $A$ 行列式的值等于 $\sum\limits_{i=1}^{n} |M(i)|$，所以我们可以分别对每个 $M(i)$ 计算贡献。

考虑其中第 $j$ 个矩阵的行列式有何变化。
根据行列式的计算公式：$|A| = \sum_{p} (-1)^{\tau(p)} \prod_{k=1}^{n} a_{k,p_k}$，由于 $a$ 的第 $i$ 行只有 $a_{i,j}$ 有值，其它都为 $0$，所以只有 $p_i=j$ 的时候有贡献。
相当于强制 $p_i=j$。

强制 $p_i=j$ 之后就要计算前面 $-1$ 次幂的取值了。
我们只计算和 $i$ 这一位相关的逆序对数量。
假设我们交换 $p_a,p_b$，钦定 $a \lt b$，开始分类讨论：

若 $a, b \lt i$ 或 $a, b \gt i$：
- 显然不会影响到 $\tau$，因此 $\Delta = 0$。
若 $p_a, p_b \lt p_i$ 或 $p_a, p_b \gt p_i$：
- 此时 $a,b$ 分居两边，但同高同低。
- 也不会影响到 $\tau$，因此 $\Delta = 0$。
若 $p_a \lt p_i \lt p_b$：
- 并不难发现 $\tau$ 会被影响，$p_i$ 前面多一个比它大的，后面多一个比它小的。
- 因此 $\Delta = 2$。
若 $p_a \gt p_i \gt p_b$：
- 和上一个同理，$\Delta = -2$。

因此关于 $i$ 的逆序对奇偶性不会变化。
问题是知道这玩意儿没啥用，我们真正要求的是整个排列的奇偶性。
但这东西启发我们构造一种特殊排列，满足 $p_i=j$ 的同时能快速计算出逆序对奇偶性。

若 $i=j$：
- 这没什么好说的，直接构造 $\{1,2,\dots,i,\dots,n\}$，逆序对为 $0$。
若 $i \lt j$：
- 构造排列 $\{1,2,\dots,j,i,i+1,i+2,\dots,j-1,j+1,\dots,n\}$。
- 此时 $[i+1,j]$ 区间的数都比 $p_i$ 小，而如果去掉 $p_i$，整体是单增的。
- 因此逆序对数为 $j-i$。
若 $i \gt j$：
- 和之前同理，可以得到逆序对数为 $i-j$。

得出结论：逆序对数为 $|i-j|$。
我们只关注奇偶性，所以 $|i-j| \equiv i+j \pmod 2$。
则有：

\[|A| = \sum_{p} (-1)^{\tau(p)} \prod_{k=1}^{n} a_{k,p_k} \]

\[=\sum\limits_{j=1}^{n} a_{i,j} \times (-1)^{i+j} \sum_{p} (-1)^{\tau(p)} \prod_{k=1,k \not= i}^{n} a_{k,p_k} \]

\[=\sum\limits_{j=1}^{n} a_{i,j} \times C_{i,j} \]

行列式的求值

一个简单的方法是：直接按照定义式求值，需要枚举全排列，再枚举每一位，所以复杂度为 $O(n! \times n)$。

另一种方法类似于高斯消元，先把矩阵转为上三角，再转化为对角矩阵，在消元的过程中根据行列式的性质顺便更新行列式的值。
显然对角矩阵的行列式的值就是对角线乘积。

消成上三角矩阵

利用性质 1、2、6，可以很容易地用高斯消元求解行列式的值，由于取模操作，套一个逆元就行了。
这对吗？这不对！模数不一定为质数，所以逆元可能不存在。

考虑求 $\gcd$ 的过程：辗转相除法。它最后递归的终止条件是 $b=0$，此时返回 $a$。
这正是我们所需要的：把一个位置消成 $0$，保留另一个位置。
与之不同的，我们现在是把两行的元素同时进行辗转相除。

消成对角矩阵

在思考如何消成对角矩阵之前先冷静分析一下。
现在对于 $a_{i,j},i \lt j$ 的位置显然都已经是 $0$ 了，因此只要有 $p_i = j, i \lt j$ 那么整个式子乘上 $0$ 结果就是 $0$。
那么就相当于限制 $p_i \leq i$，但是排列又不能重复填数，所以一定在 $p_i = i$ 的时候才有值。
因此只有对角线信息有用。

那么根本不需要消成对角矩阵，直接计算即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 605;
int n, mod, a[N][N];
long long ans;
inline void exchange(int x, int y) { for (int i = 1; i <= n; i++) swap(a[x][i], a[y][i]); ans *= -1; }

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &mod), ans = 1ll;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++) scanf("%d", &a[i][j]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
			while (a[i][i]) {
				int t = a[j][i] / a[i][i];
				for (int k = i; k <= n; k++) a[j][k] = ( (a[j][k] - a[i][k] * 1ll * t) % mod + mod) % mod;
				exchange(i, j);
			}
			exchange(i, j);
		}
	ans = (ans + mod) % mod;
	for (int i = 1; i <= n; i++) ans = (ans * 1ll * a[i][i]) % mod;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

矩阵树定理

矩阵树定理一般被用来求解无权图生成树数量，通过构造矩阵把图论问题转化为行列式求值问题。

构造矩阵

度数矩阵 $D$

对于无向图：定义 $D_{i,i} = deg_i$，即度数；对于 $i \not= j$ 定义 $D_{i,j} = 0$。
对于有向图：定义 $D^{in} = in_i$，即入度；$D^{out} = out_i$，即出度；对于 $i \not= j$ 则 $D^{in}_{i,j} = D^{out}_{i,j} = 0$。

邻接矩阵 $A$

定义 $A_{i,j}$ 表示图中 $i,j$ 两点间有多少条边。

Laplace 矩阵 $L$（又名 Kirchhoff 矩阵）

对于无向图：定义 $L_{i,j} = D_{i,j} - A_{i,j}$。
对于有向图：定义 $L^{in} = D^{in}_{i,j} - A_{i,j}$，即入度 $L$ 矩阵；$L^{out} = D^{out}_{i,j} - A_{i,j}$，即出度 $L$ 矩阵。

子矩阵 $R$

为下文行文方便，令 $R(M,i)$ 表示把 $M$ 矩阵删除第 $i$ 行第 $i$ 列得到的矩阵。

定理

无向图

对于无向图：
- 它的生成树数量为：$|R(L, rt)|$。
- 其中 $rt$ 为任意点。
对于有向图：
- 它的叶向生成树数量为：$|R(L^{in}, rt)|$。
- 它的根向生成树数量为：$|R(L^{out}, rt)|$。
- 其中 $rt$ 表示树根。

证明略。

模板题

题目定义一个生成树的权值为边权乘积。
矩阵树定理并不能处理带权问题，但是可以转化：把一条边权为 $w$ 的边转化为 $w$ 条无权边。
然后就可以套用矩阵树定理了。
本题要求以一为根的叶向树，所以直接把点编号 $-1$ 即可，做行列式求值的时候求 $[1,n-1]$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 605, mod = 1e9 + 7;
int n, m, T;
long long a[N][N], ans;
inline void exchange(int x, int y) { for (int i = 1; i <= n; i++) swap(a[x][i], a[y][i]); ans *= -1; }

void solve() {
	ans = 1ll;
	for (int i = 1; i < n; i++)
		for (int j = i + 1; j < n; j++) {
			while (a[i][i]) {
				int t = a[j][i] / a[i][i];
				for (int k = i; k < n; k++) a[j][k] = ( (a[j][k] - a[i][k] * 1ll * t) % mod + mod) % mod;
				exchange(i, j);
			}
			exchange(i, j);
		}
	ans = (ans + mod) % mod;
	for (int i = 1; i < n; i++) ans = (ans * 1ll * a[i][i]) % mod;
	printf("%lld\n", ans);
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &T);
	for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) {
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), u--, v--;
		if (!T) a[u][u] += w, a[v][v] += w, a[u][v] -= w, a[v][u] -= w;
		else a[v][v] += w, a[u][v] -= w;	// 叶向树，用 in 
	}
	for (int i = 1; i < n; i++)
		for (int j = 1; j < n; j++) a[i][j] = (a[i][j] % mod + mod) % mod;
	solve();
	return 0;
}

四、矩阵求逆

对于 $A$ 求一个矩阵，使得它和 $A$ 做矩阵乘法得到单位矩阵。

在 $A$ 的右边拼一个单位矩阵，然后对左边的 $A$ 做高斯消元，使得它变成单位矩阵。
此时右边的单位矩阵就变成了逆矩阵。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 405, mod = 1e9 + 7;
int qmi(int a, int k) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = res * 1ll * a % mod;
        a = a * 1ll * a % mod, k >>= 1;
    }
    return res;
}

int n, m, a[N][N << 1];

void solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t = i;
        for (int j = i + 1; j <= n; j++)
            if (a[t][i] < a[j][i]) t = j;
        for (int j = 1; j <= m; j++) swap(a[t][j], a[i][j]);
        if (a[i][i] == 0) puts("No Solution"), exit(0);

        int inv = qmi(a[i][i], mod - 2);
        for (int j = i; j <= m; j++) a[i][j] = (a[i][j] * 1ll * inv) % mod;
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            int p = a[j][i];
            for (int k = i; k <= m; k++) a[j][k] = (a[j][k] - (p * 1ll * a[i][k] % mod) + mod) % mod;
        }
    }
    for (int i = n; i >= 1; i--)
        for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
            int p = a[i][j];
            for (int k = i + 1; k <= m; k++) a[i][k] = (a[i][k] - (p * 1ll * a[j][k] % mod) + mod) % mod;
        }
    for (int i = 1; i <= n; i++, puts(""))
        for (int j = 1; j <= n; j++) printf("%d ", a[i][j + n]);
}

int main() {
    scanf("%d", &n), m = n << 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) scanf("%d", &a[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[i][i + n] = 1;
    solve();
    return 0;
}

posted @ 2025-05-07 21:09 Conan15 阅读(39) 评论(0) 收藏举报来源

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数学总结 3（线性代数、行列式）

零、目录

一、线性基

引入

简单操作 & Code

求异或可得最大元素

求 \(x\) 是否可以被表示为异或和

例 1：HDU3949 XOR

例 2：洛谷 P4151 WC2011 最大XOR和路径

例 3：CF251D Two Sets

例 4：CF895C Square Subsets

例 5：洛谷 P3292 SCOI2016 幸运数字

例 6：洛谷 P4570 BJWC2011 元素

例 7：洛谷 CF1100F Ivan and Burgers

二、线性空间

定义 & 引入

相关概念

线性无关、线性相关

极大线性无关组、秩

三、行列式

定义

性质

性质 1

性质 2

性质 3

性质 4

性质 5

性质 6

性质 7

行列式的求值

消成上三角矩阵

消成对角矩阵

矩阵树定理

构造矩阵

度数矩阵 \(D\)

邻接矩阵 \(A\)

Laplace 矩阵 \(L\)（又名 Kirchhoff 矩阵）

子矩阵 \(R\)

定理

无向图

模板题

四、矩阵求逆

公告