背包 DP 专项 知识梳理

背包 DP 专项 知识梳理

【信奥题单】DP 之 背包 DP 专项

0x00 前言

背包 DP 与普通 DP 类似，也需满足普通 DP 的几个条件，找到 \(dp\) 数组定义、初始化、循环顺序、状态转移方程、题目所求。其变化众多，考验思维分析。

0x01 题型特点

对于背包 DP 的题目，一般都是选出一些物品，且给定代价、价值、限制、背包类型，让我们求极值、方案数、抑或是可行性。对于代价、价值、限制，题目中不一定会明显给出，需要我们自己根据题目要求寻找，而背包类型则较为好分辨，只需了解题目选择物品的逻辑即可。

0x02 模板代码

背包问题经典的五类基本题型。

一、0-1 背包

对于每个物品只能取一次的背包问题，被称为 0-1 背包。

这篇文章

定义 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个元素，\(v\) 总和不超过 \(j\) 的最大 \(w\) 之和。则对于第 \(i\) 个元素，可以选择不取，那么 \(w\) 之和为 \(dp_{i-1,j}\)；若选择取，则剩下的 \(i-1\) 个元素的 \(v\) 总和为 \(j-v_i\)，所以此时 \(w\) 之和为 \(dp_{i-1,j-v_i}+w_i\)。状态转移方程为：

\[dp_{i,j}=\max(dp_{i-1,j},dp_{i-1,j-v_i}+w_i) \]

注意到 \(dp_{i,j}\) 只与 \(dp_{i-1,[0..j-1]}\) 有关，所以可以只开一维数组，压掉 \(i\) 这一维，节省空间。但是由于前文所讲，状态转移要用到下标更小的元素，所以 \(j\) 应倒序遍历，防止在使用前更新所需元素。状态转移方程即为 \(dp_j=\max{(dp_j,dp_{j-v_i}+w_i)}\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=105,T=1010;
int t,m;
int v[N],w[N],dp[T];

int main(){
    scanf("%d%d",&t,&m);
    for (int i=1;i<=m;++i) scanf("%d%d",v+i,w+i);
    for (int i=1;i<=m;++i){
        for (int j=t;j>=v[i];--j) dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]); // 倒序遍历
    }
    printf("%d",dp[t]);
    return 0;
}

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二、完全背包

对于每个物品无限次的背包问题，称为完全背包。解析详见这篇文章。

三、分组背包

对于将物品分为多个组，每组只能取一样物品的的背包称为分组背包，解析详见这篇文章。

四、多重背包

对于一个物品可以取有限次（不一定为 \(1\)） 的背包称为多重背包，解析详见这篇文章，有时需要二进制优化，另外还有单调队列优化，在 S 组 DP 中会有。

五、混合背包

一堆物品有些是 0-1 背包，有些是完全背包，有些是多重背包，即将 0-1 背包、完全背包、多重背包混合起来的背包就是混合背包，详见这篇文章。

0x03 经典题型

在一个基本模板上可以叠加多种题型，使题目千变万化。

一、方案数

对于方案数的背包，只需对当前元素加上转移过来的方法即可，详见这篇题解。

二、可行性

判断对于给定限制是否可行，详见这篇题解。

对于有些题目，可能需要反转题目给定的代价和价值，用可行性背包加上枚举答案求最值，如这篇题解。

三、多维背包

对于一个物品有多个代价的背包为多维背包，解题时只需多开一维数组，多套一层循环即可，详见这篇题解。

四、多代价

对于有多个代价的背包，可以给每个背包开一个数组，分别按题目要求处理。也可以采用次要性动态规划，详见这篇题解。

五、负代价

对于一些代价和为负的背包，可以通过同加一个大数让下标变为正，既不改变相对位置，又符合规定，详见这篇题解。

六、余数

对于要求代价和为某一定值 \(m\) 的倍数，可以重新以代价模 \(m\) 的余数为数组下标进行状态转移，详见这篇题解。