数学分析 ch03

第三章　实数系的基本定理

题 1.（第一组参考题，上下极限与聚点）设数列 \(\{x_n\}\) 有界。记 \(E\) 为 \(\{x_n\}\) 的全部聚点（即某收敛子列的极限）所成之集。证明：(1) \(E\) 是闭集；(2) \(\limsup\limits_{n\to\infty}x_n=\max E\)，\(\liminf\limits_{n\to\infty}x_n=\min E\)。

解. 因 \(\{x_n\}\) 有界，由聚点定理（Bolzano–Weierstrass）存在收敛子列，故 \(E\neq\varnothing\)；又 \(E\) 有界，于是只要证 \(E\) 闭即可断言 \(\max E,\min E\) 存在。

(1) 证 \(E\) 闭。设 \(\xi\) 是 \(E\) 的任一聚点，则存在 \(E\) 中互异点列 \(\eta_k\to\xi\)。对每个 \(\eta_k\in E\)，由聚点定义，可取 \(x_{n_k}\) 使 \(n_k\) 严格递增且 \(|x_{n_k}-\eta_k|<\dfrac1k\)。于是

\[|x_{n_k}-\xi|\le |x_{n_k}-\eta_k|+|\eta_k-\xi|<\frac1k+|\eta_k-\xi|\to0, \]

故 \(\xi\in E\)，\(E\) 为闭集。

(2) 记 \(\alpha=\limsup\limits_{n\to\infty}x_n\)。由定义 \(\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}u_n\)，其中 \(u_n=\sup\limits_{k\ge n}x_k\)，且 \(u_n\searrow\alpha\)。先证 \(\alpha\in E\)：对任意 \(j\in\mathbf N_+\)，因 \(u_{n_j}\to\alpha\)，可取 \(n_{j+1}>n_j\) 使 \(x_{n_{j+1}}>u_{n_{j+1}}-\dfrac1{j+1}>\alpha-\dfrac1{j+1}\)；由此得子列 \(x_{n_j}\to\alpha\)，故 \(\alpha\in E\)。

再证对任意 \(\eta\in E\) 有 \(\eta\le\alpha\)。若 \(\eta>\alpha\)，令 \(\varepsilon=\dfrac{\eta-\alpha}{2}>0\)。因 \(u_n\to\alpha\)，存在 \(N\) 使当 \(n\ge N\) 时 \(u_n<\alpha+\varepsilon=\dfrac{\alpha+\eta}{2}<\eta\)；从而对所有 \(k\ge N\) 有 \(x_k\le u_N<\eta\)，即 \(\{x_n\}\) 在 \((\eta-\varepsilon,+\infty)\) 中仅有有限项，与 \(\eta\) 为聚点矛盾。故 \(\eta\le\alpha\)。结合 \(\alpha\in E\) 得 \(\alpha=\max E\)。

同理，将数列 \(\{x_n\}\) 换为 \(\{-x_n\}\) 可得 \(\liminf\limits_{n\to\infty}x_n=\min E\)。\(\square\)

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题 2.（第一组参考题，区间套定理）用闭区间套定理证明聚点定理（Bolzano–Weierstrass）：直线上有界无穷点集 \(S\) 至少有一个聚点。

解. 因 \(S\) 有界，存在闭区间 \([a,b]\supset S\)。将 \([a,b]\) 等分为两个闭子区间，其中至少有一个含有 \(S\) 的无穷多个点（否则 \(S\) 至多有限）。记此子区间为 \(I_1\)，并取 \(x_1\in I_1\cap S\)。再将 \(I_1\) 等分，取含有 \(S\) 无穷多个点的那个闭子区间为 \(I_2\supset I_1\)，并取 \(x_2\in I_2\cap S\) 且 \(x_2\neq x_1\)（因 \(I_2\) 中含 \(S\) 无穷多点，可与已取点不同）。如此继续，得到一列闭区间

\[I_1\supset I_2\supset\cdots\supset I_n\supset\cdots, \]

满足 (i) \(|I_n|=\dfrac{b-a}{2^{\,n-1}}\to0\)；(ii) 每个 \(I_n\) 含有 \(S\) 的无穷多个点；并取到了互异点列 \(x_n\in I_n\cap S\)。

由闭区间套定理，存在唯一的 \(\xi\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty I_n\)。下证 \(\xi\) 是 \(S\) 的聚点：任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(N\) 使 \(\dfrac{b-a}{2^{N-1}}<\varepsilon\)，则当 \(n\ge N\) 时 \(I_n\subset(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)\)。因 \(I_N\) 含有 \(S\) 的无穷多个点，故 \((\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)\) 中含 \(S\) 的无穷多个点，从而 \(\xi\) 是 \(S\) 的聚点。\(\square\)

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题 3.（第一组参考题，上确界与闭包）设 \(A\) 为非空有上界数集，记 \(s=\sup A\)。证明：\(s\in\overline A\) 且 \(s=\max\overline A\)；并由此推出：若 \(s\notin A\)，则 \(s\) 必为 \(A\) 的聚点。

解. 因 \(s=\sup A\) 是 \(A\) 的上界，故 \(A\subset(-\infty,s]\)，而 \((-\infty,s]\) 为闭集，从而 \(\overline A\subset(-\infty,s]\)，即 \(s\) 是 \(\overline A\) 的上界。

由确界定义，对任意 \(\varepsilon>0\)，\(s-\varepsilon\) 不是 \(A\) 的上界，故存在 \(a\in A\) 使 \(a>s-\varepsilon\)；又 \(a\le s\)，于是 \(a\in(s-\varepsilon,s]\subset(s-\varepsilon,s+\varepsilon)\)。这说明 \(s\) 的任意邻域都含有 \(A\) 的点，故 \(s\in\overline A\)。

综上，\(s\in\overline A\) 且 \(s\) 是 \(\overline A\) 的上界，故 \(s=\max\overline A\)。

若 \(s\notin A\)，则对每个 \(\varepsilon>0\)，由上面所证 \((s-\varepsilon,s]\) 中含有 \(A\) 的点而 \(s\notin A\)，推知 \((s-\varepsilon,s)\) 中含有 \(A\) 的点，即 \(s\) 的任意去心邻域都含有 \(A\) 的点，故 \(s\) 是 \(A\) 的聚点。\(\square\)

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题 4.（第二组参考题，有限覆盖定理）用有限覆盖定理（Heine–Borel 定理）证明 Cantor 定理：闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数必在 \([a,b]\) 上一致连续。

解. 设 \(f\in C[a,b]\)。任给 \(\varepsilon>0\)，对每个 \(x\in[a,b]\)，由 \(f\) 在 \(x\) 处连续，存在 \(\delta_x>0\)，使得当 \(t\in[a,b]\) 且 \(|t-x|<\delta_x\) 时，

\[|f(t)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}. \]

考虑开区间族

\[\mathcal U=\left\{\left(x-\frac{\delta_x}{2},\,x+\frac{\delta_x}{2}\right):x\in[a,b]\right\}. \]

显然 \(\mathcal U\) 覆盖 \([a,b]\)。由有限覆盖定理，存在有限个点 \(x_1,\dots,x_m\in[a,b]\) 使

\[[a,b]\subset\bigcup_{i=1}^m\left(x_i-\frac{\delta_{x_i}}{2},\,x_i+\frac{\delta_{x_i}}{2}\right). \]

令

\[\delta=\frac12\min_{1\le i\le m}\frac{\delta_{x_i}}{2}>0. \]

任取 \(s,t\in[a,b]\) 且 \(|s-t|<\delta\)。点 \(s\) 属于某个 \(\left(x_i-\dfrac{\delta_{x_i}}{2},x_i+\dfrac{\delta_{x_i}}{2}\right)\)，故 \(|s-x_i|<\dfrac{\delta_{x_i}}{2}\)。于是

\[|t-x_i|\le|t-s|+|s-x_i|<\delta+\frac{\delta_{x_i}}{2}\le\frac{\delta_{x_i}}{2}+\frac{\delta_{x_i}}{2}=\delta_{x_i}. \]

从而 \(|f(s)-f(x_i)|<\dfrac{\varepsilon}{2}\) 且 \(|f(t)-f(x_i)|<\dfrac{\varepsilon}{2}\)，故

\[|f(s)-f(t)|\le|f(s)-f(x_i)|+|f(t)-f(x_i)|<\varepsilon. \]

由定义，\(f\) 在 \([a,b]\) 上一致连续。\(\square\)

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题 5.（第二组参考题，Cauchy 准则）证明 Euler 常数序列

\[a_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln n \]

收敛。

解. 用 Cauchy 收敛准则。对任意正整数 \(n,p\)，有

\[a_{n+p}-a_n=\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac1k-\bigl(\ln(n+p)-\ln n\bigr) =\sum_{k=n+1}^{n+p}\left(\frac1k-\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}\right).\]

因为当 \(x\in[k-1,k]\) 时 \(\dfrac1x\ge\dfrac1k\)，所以 \(\displaystyle\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}\ge\frac1k\)，从而每一项 \(\dfrac1k-\displaystyle\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}\le0\)。故 \(a_{n+p}\le a_n\)，且

\[0\le a_n-a_{n+p}=\sum_{k=n+1}^{n+p}\left(\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}-\frac1k\right). \]

又对 \(k\ge2\)，在 \([k-1,k]\) 上 \(\dfrac1x\le\dfrac1{k-1}\)，故

\[\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x}-\frac1k\le\frac1{k-1}-\frac1k=\frac1{(k-1)k}. \]

于是

\[0\le a_n-a_{n+p}\le\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac1{(k-1)k} =\sum_{k=n+1}^{n+p}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=\frac1n-\frac1{n+p}<\frac1n.\]

因此对任意 \(p\ge1\) 都有 \(|a_{n+p}-a_n|<\dfrac1n\)。任给 \(\varepsilon>0\)，取 \(N>\dfrac1\varepsilon\)，则当 \(m>n\ge N\) 时（令 \(p=m-n\)）有 \(|a_m-a_n|<\dfrac1n\le\dfrac1N<\varepsilon\)。由 Cauchy 收敛准则，\(\{a_n\}\) 收敛。\(\square\)

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题 6.（第二组参考题，凝聚点与聚点构造）设 \(F\) 是闭区间 \([a,b]\) 中的闭集。证明：存在 \([a,b]\) 上的一个数列 \(\{x_n\}\)，使得 \(\{x_n\}\) 的聚点（子列极限）所成之集恰为 \(F\)。

解. 对每个 \(m\in\mathbf N_+\)，将 \([a,b]\) 等分为 \(2^m\) 个长度均为 \(\dfrac{b-a}{2^m}\) 的闭小区间。在第 \(m\) 层，考虑所有与 \(F\) 相交的小区间；因 \(F\) 闭，每个这样的小区间中任取一点 \(y\in F\cap I\)（交点存在）即可。将所有这些取自 \(F\) 的点按层数 \(m=1,2,3,\dots\) 依次排列，得到数列 \(\{x_n\}\)，且显然 \(\{x_n\}\subset F\)。

先证聚点集 \(\subset F\)：因 \(\{x_n\}\subset F\) 而 \(F\) 闭，极限点必落于 \(F\)，故任一聚点都属于 \(F\)。

再证 \(F\subset\) 聚点集。任取 \(\xi\in F\)。对每个 \(m\)，含 \(\xi\) 的那个第 \(m\) 层小区间记为 \(J_m\)；因 \(\xi\in F\)，有 \(J_m\cap F\neq\varnothing\)，故我们在其中取了一个点 \(z_m\in F\cap J_m\)，满足

\[|z_m-\xi|\le|J_m|=\frac{b-a}{2^m}\to0. \]

于是得到子列 \(z_m\to\xi\)，即 \(\xi\) 是 \(\{x_n\}\) 的聚点。

综上，\(\{x_n\}\) 的聚点集恰为 \(F\)。\(\square\)