调和方程的三种观点

调和方程的三种观点

调和方程简介

我们假设 \(u\) 是 \(\mathbb{R}^{n}\) 的一个开集\(\Omega\)上的函数，满足二阶任意偏导数存在且连续的条件。所谓的调和方程，就是由下面公式给出的方程：

\[\Delta u = 0 \ \ \ \text{in} \ \ \Omega \]

方程的解，我们叫作调和函数。

一般地，要求解这个方程，我们要加入边界条件。但是今天我们并不打算认真求解方程，而是探讨由这个约束给出的一些性质。也就是探讨调和函数的性质。

我们着重研究一点性质：

1.平均值原理

当然，研究其他性质也很有意义，如最大值，最小值原理，Harnack不等式。但是一旦建立了调和方程的一个基本定理，自然用这个定理在内部解决问题要比引入别的方法来得方便。

我们有三个观点考察调和方程: 第一，用经典微积分的理论研究；第二，在二维情况下建立起调和方程和全纯函数的关系；第三，用概率的方法求解。我们按照下面顺序介绍：

1.复变函数法

2.微积分法

3.概率方法

复变函数的观点

把复变函数作为第一个介绍的意图很简单，他要求我们的空间是二维的，所以处理的问题也是最简单的。任何一位学习过复变函数理论的人都可以看到复变函数与调和函数的紧密关系——柯西-黎曼方程.

柯西-黎曼方程是联系实函数和复函数的桥梁。若\(f=u+iv\)是一个复函数，它的作用由下面的形式给出：

• 一个复函数是全纯的，那么有柯西-黎曼方程成立

\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \ \ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \]

• 若一个函数有连续一阶偏导数，且满足柯西-黎曼方程，那么他是全纯函数。

在复变函数中，我们经常借用实函数的结论处理复函数的问题，现在的工作恰好是反过来的逻辑。

我们已经假设了二阶偏导数存在且连续,所以函数的正则性问题不需要额外考虑，要关注的问题是，一个满足调和方程的函数，是否满足柯西-黎曼方程？我们很难期望所有调和函数的一阶导数是零，所以要正确地处理这个问题，我们需要合适地为\(u\)搭配一个虚部，在这种意义下，答案是肯定的。

思路：

首先，假定\(u\)是一个全纯函数的实部，二阶偏导存在且连续，那么:

\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial y} \]

\[\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x} \]

所以：

\[\Delta u = 0 \]

下面问题是\(v\)是什么，我们注意到$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \ \ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} $$，所以自然地定义：

\[v=\int_{x_0,y_0}^{x,y_0} -\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{dx} +\int_{x,y_0}^{x,y} \frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{dy} \]

虽然这里有些符号滥用，但是所有人都可以看明白这是怎么一回事。现在柯西-黎曼方程是满足了，但是想要其成为全纯函数，我们要求积分与路径无关，这里应用格林公式即可。（为什么呢？可以仔细思考ww)

一个全纯函数有自己的平均值原理，写在下面：

\[f全纯，定义在开集\Omega 上，B_r(x_0)是开球，包含于\Omega中，开球的边界是一个圆，记作C，那么有下面的表示公式 \newline f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{dz}\]

(做数学，凡是有表示两个字的，都是好的数学——xg)

只要稍稍地对上面的公式变形，取出实部，我们就有调和方程的平均值原理:

\[u(x)是调和函数，则有 \newline u(x_0)=\frac{1}{|\partial B_r(x_0)|}\int_{\partial B_r(x_0)}u(x)\mathrm{ds}\]

稍微解释一下符号\(B_r(x_0)\)代表以\(x_0\)为圆心，\(r\)为半径的球。\(|*|\)表示求面积或者体积（或所谓的高维的体积）。

微积分的观点

复变函数有其固有的缺陷，你无法对更高维数的调和方程建立与复函数的对应关系。可以想象一个“高维”的复变函数理论，要想建立这个理论，本质上还是要从微积分出发，这对于解决调和函数的问题来说是绕了远路。所以说，在高维情况下用复变函数是不现实的。下面我们就从微积分的观点看看这个问题。

从平均值原理来看，无论如何选取球体的半径，只要中心不变，积分结果就一样。这为我们打开了思路。

设：

\[F(r)=\frac{1}{|\partial B_r(x_0)|}\int_{\partial B_r(x_0)}u(x)\mathrm{ds} \]

为了简化计算，我们先用球面坐标变化，可以注意到公式前面系数分母上有\(r^{n-1}\),而球面坐标变化下产生的行列式中也有\(r^{n-1}\)。记外法向量为\(n\)，记系数为C，我们可以化公式为：

\[F(r)=\frac{1}{C}\int_{\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}}u(rn)\mathrm{d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}} \]

对\(r\)求导，

\[F'(r)=\frac{1}{C}\int_{\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}}\nabla u(rn)\cdot n\mathrm{d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}} \]

用高斯公式，

\[F'(r)=\frac{1}{C}\int_{\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}}\Delta u(rn) \mathrm{d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_{n-1}}=0 \]

当\(r\)为\(0\)时，\(F(0)=u(x_0)\)。<——这个是不对的，竟然有教科书会这么写！

正经的操作是求极限，令\(r \to 0\),利用\(u\)在\(x_0\)处的连续性，完成证明。

概率的观点

概率方法解调和方程是非常精彩的。与其人为地求出解，不妨让大自然为我们找到解。我们利用布朗运动\(B_t\)来操作。

首先假设给出了边值条件\(u=g \ \ on \ \ \partial \Omega\). 假设布朗运动从点\(x\)出发，它击中边界的时间是一个停时\(\tau_x\).那么方程的解就是\(\mathbb{E}_{x}(g(B_{\tau_x}))\)。

如果边界是一个球体，而且\(x_0\)恰好是球体的圆心，那么根据布朗运动的各向同性，立刻可以推出平均值原理。同样地，我们看出调和方程的解在区域内是边界函数值的平均，所以最大值，最小值只能在边界取到。实际上困难的分析我们交给了布朗运动自己完成，让我们想要的性质在解的表达上直接体现出来，某种意义上这就是概率方法带给我们的便利.

下面我们来说明为什么能够得到这样的解。考虑\(u(B_t)\)，对它求导:

\[\mathrm{d}u(B_t)=\sum u_{x_i}(B_t)\mathrm{d}B_t^{i}+\Delta u(B_t) \mathrm{d}t=\sum u_{x_i}(B_t)\mathrm{d}B_t^{i} \]

所以说\(u(B_t)\)是一个鞅。现在考虑他的停止过程，求期望：

\[u(x)=\mathbb{E}_x(u(B_0))=\mathbb{E}_x(u(B_{\tau_x}))=\mathbb{E}_x(g(B_{\tau_x})) \]

如果我们有了这样的一个解，那么解应该有这样的概率形式。但是存在性问题还没有被解决，这样得到的解是否真的是是原来方程的解？一般来说，很难对期望求导，所以思路是通过平均值原理探讨可导性。这某种意义上也是概率方法中困难的一点。