Re：从零开始的布朗运动

Re：从零开始的布朗运动

布朗运动的产生

随机游走：\(\xi_i\) i.i.d.，\(S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\xi_i\)，其中

\[\mathbb{E} \xi_i=0,\qquad \mathbb{E} \xi_i^{2}=\sigma^{2}. \]

在连续时间下 \(S_t=S_{\lfloor t\rfloor}\)。

一般时间间隔不一定是 \(1\)：\(S_{\lfloor nt\rfloor}\longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt n}S_{\lfloor nt\rfloor}\)。

观测时间缩小，步长也相应减小。

由中心极限定理，可理解 \(\dfrac{1}{\sqrt n}S_{\lfloor nt\rfloor}\) 有极限 \(\longrightarrow B_t\)，\(n\to\infty\)。

极限的性质

① 独立增量性
② 平稳增量性

定义 1.

有下面性质的随机过程是布朗运动：
① 独立增量性
② 平稳增量性
③ \(B(t+s)-B(s)\sim N(0,t)\)，\(t\mapsto B_t\) 是连续的

定理 2.

\(B(t)\) 是布朗运动且 \(B(0)=0\) 当且仅当
(1) \(B(t)\) 是高斯过程
(2) \(\mathbb{E} B(t)=0\)，\(\mathbb{E} B(t)B(s)=t\wedge s\)
(3) \(t\mapsto B(t)\) 连续

证明.

\(\Longrightarrow\)：\(B(t_n)-B(t_{n-1})\)，\(B(t_{n-1})-B(t_{n-2})\)，\(\dots\)，\(B(t_1)-B(t_0)\)，\(B(t_0)\) 独立，
且 \(B(t_0)=0\)，\(B(t_i)-B(t_{i-1})\sim N(0,\,t_i-t_{i-1})\)。

\[(B(t_n),\,B(t_{n-1}),\,\dots,\,B(t_1)) =(X_n,\,X_{n-1},\,\dots,\,X_1) \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ & 1 & \cdots & 1\\ & & \ddots & \vdots\\ & & & 1 \end{pmatrix} \]

故 \(B(t_n),B(t_{n-1}),\dots,B(t_1)\) 联合高斯，故为高斯过程。

已知 \(B(t)\sim N(0,t)\Rightarrow \mathbb{E} B(t)=0\)，若 \(t>0\)，

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(B(t)B(s)\bigr) &=\mathbb{E}\Bigl(B(t)\bigl(B(s)-B(t)+B(t)\bigr)\Bigr)\\ &=\mathbb{E} B(t)^{2}+\mathbb{E} B(t)\,\mathbb{E}\bigl(B(s)-B(t)\bigr)=t . \end{aligned} \]

连续性显然。

\(\Longleftarrow\)：\(B(0)\sim N(\mu,\sigma^{2})\)，\(\mathbb{E} B(0)=0\)，\(\mathbb{E} B(0)^{2}=0\Rightarrow B(0)\sim N(0,0)\)，
\(\Rightarrow B(0)=0\) a.s.。

\(B(t_1),B(t_2),\dots,B(t_n)\) 是联合高斯的，所以

\[B(t_1),\;B(t_2)-B(t_1),\;B(t_3)-B(t_2),\;\dots,\;B(t_n)-B(t_{n-1}) \]

是联合高斯分布。

\[\mathbb{E}\Bigl[\bigl(B(t_i)-B(t_{i-1})\bigr)\bigl(B(t_j)-B(t_{j-1})\bigr)\Bigr] =t_i-t_j-t_{i-1}+t_{j-1}=0 \qquad (t_i>t_{i-1}\ge t_j>t_{j-1}). \]

不相关 \(\Rightarrow\) 独立，对多个同理，故上面是独立增量的。

\[\mathbb{E}\bigl(B(t_n)-B(t_{n-1})\bigr)=0,\qquad \mathbb{E}\bigl(B(t_n)-B(t_{n-1})\bigr)^{2}=t_n-t_{n-1}, \]

\[B(t_n)-B(t_{n-1})\sim N(0,\,t_n-t_{n-1}). \]

∎

重对数律

\[\limsup_{t}\frac{B_t}{\sqrt{2t\log\log t}}=1\quad\text{a.s.}, \qquad \liminf_{t}\frac{B_t}{\sqrt{2t\log\log t}}=-1\quad\text{a.s.} \]

时间反转

\(tB_{1/t}\) 也是标准布朗运动。

证明.

1. \(B_{1/t_1},B_{1/t_2},\dots,B_{1/t_n}\) 是高斯的 \(\Rightarrow tB_{1/t}\) 是高斯过程。
2. \(\mathbb{E}\, tB_{1/t}=t\,\mathbb{E} B_{1/t}=0\)，

\[\mathbb{E}\bigl[tB_{1/t}\cdot sB_{1/s}\bigr] =ts\Bigl(\tfrac1t\wedge\tfrac1s\Bigr)=s\wedge t . \]

3. \(t\mapsto tB_{1/t}\) 连续：若 \(t\ne0\)，\(t\mapsto t\)，\(t\mapsto B_{1/t}\) 连续 \(\Rightarrow tB_{1/t}\) 连续；
\(t=0\) 验证 \(\lim\limits_{t\to0}tB_{1/t}=0\)，即 \(\lim\limits_{t\to\infty}\dfrac{B_t}{t}=0\)。

∎

由重对数律

\[\limsup_t \frac{B_t}{t} =\limsup_t \frac{B_t}{\sqrt{2t\log\log t}}\cdot\frac{\sqrt{2t\log\log t}}{t}=0, \qquad \liminf_t \frac{B_t}{t}=0 . \]

布朗运动的构造

\(\{e_n\}\) 是 \(L^{2}[0,1]\) 中的标准正交基，\(\xi_n\) 是独立同分布的标准正态分布，

\[X_t \overset{L^{2}}{:=}\sum_{n}\bigl\langle \mathbf{1}_{[0,t]},\,e_n\bigr\rangle\,\xi_n , \]

有 \(L^{2}\) 收敛的极限。

\(X_t\) 是一个中心化高斯过程。由于

\[\mathbb{E} X_t^{2}=\sum_n \bigl\langle \mathbf{1}_{[0,t]},\,e_n\bigr\rangle^{2} =\int \mathbf{1}_{[0,t]}\,\,\mathrm{d} t = t, \]

\[\Longrightarrow\quad \mathbb{E} X_tX_s=t\wedge s . \]

对于连续性，有下面定理：

定理 3.

一个过程 \(X_t\)（\((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\)），若有 \(p>0\)，\(\beta>0\) s.t.

\[\mathbb{E}\left\lvert X_t-X_s \right\rvert^{p}\le C\left\lvert t-s \right\rvert^{1+\beta}, \]

则有修正 \(\tilde X\) locally Hölder continuous for every \(\gamma\in\bigl(0,\tfrac\beta p\bigr)\)，

\[\mathbb{P}\Biggl(\sup_{0\le s\ne t\le1} \frac{\tilde X_t(\omega)-\tilde X_s(\omega)}{(t-s)^{\gamma}}\le \delta\Biggr)=1 \]

即对某个随机变量 \(\eta(\omega)>0\)，某个 \(\delta>0\)。

对于一个高斯过程 \(B_t-B_s\sim N(0,t-s)\)，

\[B_t-B_s=\sqrt{t-s}\,\xi, \]

\[\mathbb{E}\left\lvert B_t-B_s \right\rvert^{p}=C(p)(t-s)^{\frac p2} =C(p)(t-s)^{1+\left(\frac p2-1\right)}, \qquad \text{取 } p>2,\ \text{则 } \tfrac p2-1>0 . \]

取 \(p\) 足够大，\(\gamma\in\bigl(0,\tfrac12\bigr)\)，则 \(t\mapsto B_t\) 是 \(\gamma\)-Hölder 连续的。

高维布朗运动

由独立的一维布朗运动构成。

马氏可夫性

\[(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})=\bigl(C([0,\infty),\mathbb{R}^{n}),\,\mathcal{G},\,\mathbb{P}\bigr), \]

shift operator \(\{\theta_t:\ t\ge0\}\)。

马氏性、反射原理与 Blumenthal 0-1 律

\[\theta_t:\ \Omega\longrightarrow\Omega,\qquad w(\cdot)\longmapsto w(\cdot+t). \]

布朗运动在典则空间下 \(B_t(w)=w(t)\)，\(t\ge0\)。

定义 \(\mathcal{F}_t^{\circ}=\sigma(B_s,\ s\le t)\)，右修正 \(\mathcal{F}_t^{+}=\bigcap\limits_{s>t}\mathcal{F}_s^{\circ}\)。

\[B_{t+s}-B_s=\lim_{r\downarrow s}B_r-B_s \quad\text{与 }\mathcal{F}_s^{+}\text{ 无关}. \]

\(\forall s\ge0\)，\(Y\) 为有界 \(\mathcal{F}_{\infty}^{\circ}\) 可测函数，\(f(B_t)\)，

\[\mathbb{E}_x\bigl(Y\circ\theta_s\mid \mathcal{F}_s^{+}\bigr)=\mathbb{E}_{B_s}Y . \]

布朗运动具有强马氏性：

\[\mathbb{E}_x\bigl(Y\circ\theta_T\mid \mathcal{F}_T^{+}\bigr)=\mathbb{E}_{B_T}Y,\qquad Y\ \mathcal{F}_{\infty}^{\circ}\ \text{bounded}. \]

\(T\) 为 \(\mathcal{F}_t^{+}\) 停时，\(\mathcal{F}_T^{+}:=\bigl\{\Lambda\in\mathcal{F}_{\infty}^{\circ}:\ \Lambda\cap\{T\le t\}\in\mathcal{F}_t^{+}\bigr\}\)，

\[\theta_{T(w)}(w)=w\bigl(T(w)+\cdot\bigr). \]

反射原理

\(B_t\) 是 BM，\(B_0=0\)，\(\{-B_t,\ t\ge0\}\overset{d}{=}\{B_t,\ t\ge0\}\)。

则 \(\forall a>0\)，\(T_a=\inf\{t\ge0:\ B_t\ge a\}\)，

\[\mathbb{P}_0(T_a<t)=2\mathbb{P}(B_t>a). \]

\[\begin{aligned} \mathbb{P}_0(T_a<t) &=\mathbb{P}_0\bigl(T_a<t,\ B_t>a\bigr)+\mathbb{P}\bigl(T_a<t,\ B_t<a\bigr)\\ &=2\mathbb{P}_0\bigl(T_a<t,\ B_t>a\bigr)\\ &=2\mathbb{P}_0\bigl(B_t>a\bigr). \end{aligned} \]

Blumenthal's 0-1 law

若 \(A\in\mathcal{F}_0^{+}\)，\(\mathbb{P}_0(A)=0\) 或 \(1\)。

\[A=A\cap A=A\cap A\circ\theta_0 , \]

\[\begin{aligned} \mathbb{P}(A)=\mathbb{E}\mathbf{1}_A &=\mathbb{E}\mathbf{1}_A\mathbf{1}_{A\circ\theta_0} =\mathbb{E}\bigl(\mathbb{E}(\mathbf{1}_A\cdot\mathbf{1}_{A\circ\theta_0}\mid\mathcal{F}_0^{+})\bigr)\\ &=\mathbb{E}\bigl(\mathbf{1}_A\,\mathbb{E}(\mathbf{1}_{A\circ\theta_0}\mid\mathcal{F}_0^{+})\bigr)=\mathbb{P}(A)^{2}\\ &\Longrightarrow\ \mathbb{P}(A)=1\ \text{或}\ 0 . \end{aligned} \]

例 4.

\(T_0^{+}=\inf\{t>0:\ B_t>0\}\)，\(\mathbb{P}(T_0^{+}=0)=1\)。

\[\begin{aligned} \mathbb{P}(T_0^{+}=0) &=\mathbb{P}\Bigl(\bigcap_n\bigl\{T_0^{+}<\tfrac1n\bigr\}\Bigr) =\lim_n \mathbb{P}\bigl(T_0^{+}<\tfrac1n\bigr)\\ &=\lim_n 2\mathbb{P}\bigl(B_{1/n}>0\bigr)=1 . \end{aligned} \]

因而布朗运动立刻进入正半轴，也立刻击中 \(0\)。

Itô 积分

\[\int_0^t f(s)\,\,\mathrm{d}\varphi(s)\ \longrightarrow\ \int_0^t H(s)\,\mathrm{d} B(s) \quad\text{不是有限变差.} \]

随机积分之定义：\(H\) 是 \(\mathcal{F}_t^{+}\) 适应过程。

• \(\Lambda\)：\([0,\infty)\times\Omega\) 上由右连续适应过程生成的 \(\sigma\)-代数
• \(\pi'\)：左连续
• \(\pi:=\sigma\bigl\{\mathbf{1}_{(a,b]},\ 0\le a<b\bigr\}\)

关系：① \(\pi'\subset\pi\)；② 对布朗运动有 \(\Lambda=\pi\)。

对于简单过程，\(H_s\) 是 \(\mathcal{F}_t^{+}\) 适应，有 \(0=t_0<t_1<t_2<\dots<t_n<\infty\)，

\[H_s=H_{t_k},\qquad s\in[t_k,t_{k+1}),\quad k=1,2,3,\dots,n . \]

定义积分

\[M_t=\int_0^t H_s\,\mathrm{d} B_s =\sum_{i=1}^{n}H_{t_{i-1}}\bigl(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\bigr) +H_{t_n}\bigl(B_t-B_{t_n}\bigr) \quad\text{与初值无关,} \]

若 \(t_n\le t<t_{n+1}\)。

\(M_t\) 的性质

\[\mathbb{E} M_t=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}\bigl(H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}})\bigr) +\mathbb{E}\bigl(H_{t_n}(B_t-B_{t_n})\bigr), \]

\[\mathbb{E}\bigl(H_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})\bigr) =\mathbb{E}\Bigl(\mathbb{E}\bigl(H_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})\mid\mathcal{F}_{t_i}^{+}\bigr)\Bigr) =\mathbb{E}\bigl(H_{t_i}\underbrace{\mathbb{E}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})}_{=0}\bigr)=0 . \]

① \(\mathbb{E} M_t=0\)
② \(\mathbb{E} M_t^{2}=\operatorname{Var}M_t =\mathbb{E}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}})\Bigr)^{2}\)

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\Bigl(H_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})\,H_{t_j}(B_{t_{j+1}}-B_{t_j})\Bigr),\qquad t_i<t_j\le \cdot\\ &=\mathbb{E}\Bigl(H_{t_i}H_{t_j}\ \mathbb{E}\bigl((B_{t_{i+1}}-B_{t_i})(B_{t_{j+1}}-B_{t_j})\mid\mathcal{F}_{t_j}^{+}\bigr)\Bigr)\\ &=\mathbb{E}\Bigl(H_{t_i}H_{t_j}\ \mathbb{E}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i}\mid\mathcal{F}_{t_j}^{+})\ \mathbb{E}(B_{t_{j+1}}-B_{t_j}\mid\mathcal{F}_{t_j}^{+})\Bigr)\\ &=0 . \end{aligned} \]

\[\mathbb{E} M_t^{2}=\mathbb{E}\sum_{i}H_{t_{i-1}}^{2}\bigl(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\bigr)^{2} =\mathbb{E}\sum_i H_{t_{i-1}}^{2}(t_i-t_{i-1}) \quad\Longrightarrow\quad \text{伊藤等距} \]

\[=\mathbb{E}\int_0^t H_s^{2}\,\mathrm{d} s . \]

③ \(t\mapsto M_t\) 连续，\(M_t\) 是鞅

同一时段
\(\begin{cases} \text{连续性继承自布朗运动}\\ \mathbb{E}(M_t\mid\mathcal{F}_s^{+})=M_s \end{cases}\)
\(\Longrightarrow\) 不同时段
\(\begin{cases} \text{拼接}\\ \text{检验性质} \end{cases}\)

一般积分

任何 \(L^{2}\) 适应过程 \(H\)，在 \([0,T]\times\Omega\) 上，有简单过程 \(H^{n}\)，

\[\lim_{n}\mathbb{E}\int_0^{T}\left\lvert H_s^{n}-H_s \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s=0 . \]

定义

\[\int_0^{T}H_s\,\mathrm{d} B_s=\lim_{n\to\infty}\int_0^{T}H_s^{n}\,\mathrm{d} B_s\qquad (L^{2}\ \text{极限}). \]

同样有 \(\mathbb{E} M_t=0\)，\(\mathbb{E} M_t^{2}=\mathbb{E}\int H_s^{2}\,\mathrm{d} B_s\)，鞅性。

连续性：

\[\mathbb{P}\Biggl(\sup_{t\le T}\Bigl\lvert\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s-\int_0^{t}H_s^{n}\,\mathrm{d} B_s\Bigr\rvert\ge\lambda\Biggr) \le\frac1{\lambda^{2}}\,\mathbb{E}\Bigl\lvert\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s-\int_0^{t}H_s^{n}\,\mathrm{d} B_s\Bigr\rvert^{2}\longrightarrow 0 \]

\[\Longrightarrow\ \int_0^{t}H_s^{n}\,\mathrm{d} B_s\ \Longrightarrow\ \int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s \ \Longrightarrow\ t\mapsto\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s\ \text{连续.} \]

性质：\(B_t^{2}-t\) 是鞅。

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(B_t^{2}-t-B_s^{2}+s\mid\mathcal{F}_s^{+}\bigr) &=\mathbb{E}\bigl((B_t-B_s+B_s)^{2}-t-B_s^{2}+s\mid\mathcal{F}_s^{+}\bigr)\\ &=(t-s)+s-t+\mathbb{E}\bigl(2(B_t-B_s)B_s\mid\mathcal{F}_s^{+}\bigr)=0 . \end{aligned} \]

\(\Longrightarrow\) 二次变差过程。

二次变差

事实.

(i) 给一个连续鞅 \(X_t\)，存在唯一的连续适应过程 \(A_t\)，\(A_0=0\)，\(X_t^{2}-A_t\) 是局部鞅，
\(A_t\) 记作 \(\langle X\rangle_t\)。

(ii) \(\sum\limits_{i}\bigl(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}\bigr)^{2} \xrightarrow{\ \mathbb{P}\ }\langle X\rangle_t\)，\(\|\Pi\|\to0\)。

所以对于 \(B_t\)，\(\langle B\rangle_t=t\)。

事实上 \(X_{nk}=(t_{nk}-t_{n,k-1})\,\xi_k^{2}\)，

\[\varphi_k(t)=1+(t_{nk}-t_{n,k-1})\,it+o(t), \]

\[\prod_k\varphi_k(t)=\prod_k\Bigl(1+(t_{nk}-t_{n,k-1})it+o(t)\Bigr)\longrightarrow e^{itT}. \]

故 \(\sum\limits_k\bigl(B_{t_k}-B_{t_{k-1}}\bigr)^{2}\xrightarrow{\ \mathbb{P}\ }t\)。

定理 5.

对于简单过程 \(H\)，

\[\Bigl\langle\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s\Bigr\rangle_t=\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s=\Bigl(H^{2}\cdot\langle B\rangle\Bigr)_t . \]

进一步地

\[M_t=\Bigl(\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}-\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s \]

是鞅。

证明.

仅对同一时间段内进行证明。

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\bigl(M_t\mid\mathcal{F}_s^{+}\bigr)-M_s\\ &=\mathbb{E}\Biggl[\Bigl(\sum_{i=1}^{k}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}) +H_{t_k}(B_t-B_{t_k})\Bigr)^{2} -\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s -\Bigl(\int_0^{s}H_u\,\mathrm{d} B_u\Bigr)^{2} +\int_0^{s}H_u^{2}\,\mathrm{d} u\ \Bigg|\ \mathcal{F}_s^{+}\Biggr]\\ &=\mathbb{E}\Biggl[2\Bigl(\int_0^{s}H_u\,\mathrm{d} B_u\Bigr)\bigl(H_{t_k}(B_t-B_{t_k})\bigr) +H_{t_k}^{2}\bigl(B_t-B_{t_k}\bigr)^{2} -\int_s^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s\ \Bigg|\ \mathcal{F}_s^{+}\Biggr]\\ &=0+(t-s)-(t-s)=0 . \end{aligned} \]

∎

对于一般地 \(L^{2}\) 可积过程，

\[\Bigl\langle\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s\Bigr\rangle =\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s=\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d}\langle B\rangle_s . \]

证明.

已知 \(M_t^{n}=\Bigl(\int_0^{t}H_s^{n}\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}-\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s\) 是鞅，且

\[\underbrace{\Bigl(\int_0^{t}H_s^{n}\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}} _{\substack{\big\downarrow\,{\scriptstyle L^{2}}\\[0.2em] \int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s}} \;-\; \underbrace{\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s} _{\substack{\big\downarrow\,{\scriptstyle L^{2}}\\[0.2em] \int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s}} \]

\[\Longrightarrow\quad \Bigl(\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}-\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d} s\ \text{是鞅.} \]

∎

关于鞅的二次变差的性质

① 停止过程：\(\langle M^{T}\rangle_s=\langle M\rangle_{s\wedge T}\)
\(\langle aM\rangle=a^{2}\langle M\rangle\)

\(A_t=\langle M\rangle_t\)，\quad \(M^{2}-A\) 为鞅，\quad \((aM)^{2}-a^{2}A\) 为鞅，

\[(M_{t\wedge T})^{2}-A_{t\wedge T}=(M^{2}-A)_{t\wedge T}\ \text{是鞅.} \]

② \(\langle M\rangle=0\)，则 \(M_t\equiv M_0\) a.s.。

由于 \(M^{2}\) 是鞅（\(M_0=0\)），

\[\mathbb{E}(M_t-M_0)^{2}=\mathbb{E} M_t^{2}-\mathbb{E} M_tM_0+\mathbb{E} M_0^{2}=0 . \]

协方差过程：

\[\langle X,\,Y\rangle:=\tfrac12\bigl(\langle X+Y\rangle-\langle X-Y\rangle\bigr). \]

事实.

(i) \(\langle X,\,Y\rangle\) 是唯一的有界变差适应过程 \(A_t\)，\(A_0=0\)，且 \(X_tY_t-A_t\) 是局部鞅。

(ii) \(\langle X,\,Y\rangle=\langle Y,\,X\rangle\)
(iii) \(\langle X+Y,\,Z\rangle=\langle X,\,Z\rangle+\langle Y,\,Z\rangle\)
(iv) \(a,b\in\mathbb{R}\)，\(\langle aX,\,bY\rangle=ab\langle X,\,Y\rangle\)
(v) 对于停时 \(T\)，\(\langle X^{T},\,Y^{T}\rangle_t=\langle X,\,Y\rangle_{t\wedge T}\)

例 6.

\(B,W\) 独立布朗运动，则 \(\langle B,\,W\rangle=0\)，即 \(BW\) 是鞅。
① \(\mathbb{E}(B_tW_t\mid\mathcal{F}_t)=\mathbb{E}(B_t\mid\mathcal{F}_t)\mathbb{E}(W_t\mid\mathcal{F}_t)=B_tW_t\)
② \(B+W\)，\(B-W\) 均为布朗运动
\(\Rightarrow \langle B,\,W\rangle=\tfrac14\bigl(\langle B+W\rangle-\langle B-W\rangle\bigr)=0\)

若 \(f\) 是连续有限变差函数，那么二次变差过程是 \(0\)。

\[\forall\,\Pi:\ \sum_i\left\lvert f(t_i)-f(t_{i-1}) \right\rvert\le\sup\left\lvert f(u)-f(x) \right\rvert\cdot\left\lvert f \right\rvert_{TV}, \]

\[\left\lvert \Pi \right\rvert\to0\ \Longrightarrow\ \sup\left\lvert f(t_i)-f(t_{i-1}) \right\rvert\to0 . \]

对连续局部鞅的随机积分

\(\forall\,H\) 适应，\(\mathbb{E}\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d}\langle M\rangle_s<\infty\)，
\(N_t=\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} M_s\) well defined，且有

\[\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{t}H_s\,\mathrm{d} M_s\Bigr)^{2} =\mathbb{E}\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d}\langle M\rangle_s , \]

\[\Bigl\langle\int H\,\mathrm{d} M\Bigr\rangle_t=\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d}\langle M\rangle_s . \]

性质：

\[H\cdot(M+N)=H\cdot M+H\cdot N, \]

\[(H+K)\cdot M=H\cdot M+K\cdot M, \]

\[\langle H\cdot M,\ K\cdot N\rangle=\int_0^{t}H_sK_s\,\mathrm{d}\langle M,\,N\rangle_s . \]

Kunita–Watanabe inequality

\[\int_0^{t}\left\lvert H_sK_s \right\rvert\,\,\mathrm{d}\left\lvert \langle M,N\rangle_s \right\rvert \le\Bigl(\int_0^{t}H_s^{2}\,\mathrm{d}\langle M\rangle_s\Bigr)^{\frac12} \Bigl(\int_0^{t}K_s^{2}\,\mathrm{d}\langle N\rangle_s\Bigr)^{\frac12}. \]

Itô 公式

Itô 公式 \(\Longleftrightarrow\) 微积分基本定理。

对于 \(C^{2}\) 的函数 \(f\)：

\[f(B_t)-f(B_0)=\int_0^{t}f'(B_s)\,\mathrm{d} B_s+\frac12\int_0^{t}f''(B_s)\,\mathrm{d} s, \]

\[\,\mathrm{d} f(B_t)=f'(B_t)\,\mathrm{d} B_t+\frac12f''(B_t)\,\mathrm{d} t . \]

证明.

\[f(B_t)-f(B_0)=\sum\bigl(f(B_{t_i})-f(B_{t_{i-1}})\bigr) =f'(B_{t_{i-1}})\bigl(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\bigr) +\frac12f''(B_{t_{i-1}})\bigl(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}\bigr)^{2} \]

\(\|\Pi\|\to0\ \Longrightarrow\ \displaystyle\int_0^{t}f'(B_s)\,\mathrm{d} B_s+\frac12\int_0^{t}f''(B_s)\,\mathrm{d} s .\)
∎

对于 \(f(t,x)\in C^{1,2}([0,\infty)\times\mathbb{R})\)，

\[\begin{aligned} f(t,B_t)-f(0,B_0) &=\int_0^{t}\frac{\partial f}{\partial s}(s,B_s)\,\mathrm{d} s +\int_0^{t}\frac{\partial f}{\partial x}(s,B_s)\,\mathrm{d} B_s +\frac12\int_0^{t}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(s,B_s)\,\mathrm{d} s,\\ \,\mathrm{d} f(t,B_t)&=f_t\,\mathrm{d} t+f_x\,\mathrm{d} B_t+\frac12f_{xx}\,\mathrm{d} s . \end{aligned} \]

应用：Heat equation

\[\frac{\partial u}{\partial t}=\frac12\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, \qquad u(0,x)=\varphi(x). \]

解：固定 \(T\)，\(f(t,x)=u(T-t,x)\)，

\[\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial u(T-t,x)}{\partial t} =-\frac{\partial u}{\partial t}(T-t,x) =-\frac12\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(T-t,x) =-\frac12\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, \]

\[\frac{\partial f}{\partial t}+\frac12\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=0, \qquad f(T,x)=\varphi(x). \]

\[\begin{aligned} \,\mathrm{d} f(t,B_t)&=f_t(t,B_t)\,\mathrm{d} t+f_x(t,B_t)\,\mathrm{d} B_t+\frac12f_{xx}(t,B_t)\,\mathrm{d} t\\ &=f_x(t,B_t)\,\mathrm{d} B_t . \end{aligned} \]

\(f(t,B_t)=\displaystyle\int_0^{t}f_x(s,B_s)\,\mathrm{d} B_s\) 是一个鞅。

\[\mathbb{E}_x\bigl(f(0,B_0)\bigr)=\mathbb{E}\bigl[f(T,B_T)\bigr]=f(0,x), \]

\[\Longrightarrow\quad u(T,x)=\mathbb{E}_x\varphi(B_T). \]

\(n\) 维布朗运动的 Itô 公式

\(B_t=(B_t^{1},B_t^{2},\dots,B_t^{n})\) 是 \(n\) 维布朗运动，对于 \(f\in C^{1,2}([0,\infty)\times\mathbb{R}^{n})\)，

\[f(t,B_t)=f(0,B_0)+\int_0^{t}\frac{\partial f}{\partial s}(s,B_s)\,\mathrm{d} s +\int_0^{t}\nabla f(s,B_s)\cdot\,\mathrm{d} B_s +\frac12\int_0^{t}\Delta f(s,B_s)\,\mathrm{d} s . \]

Itô 公式：

\[(\,\mathrm{d} B_t^{i})^{2}=\,\mathrm{d} t,\qquad \,\mathrm{d} B_t^{i}\,\mathrm{d} B_t^{j}=0\ (i\ne j),\qquad \,\mathrm{d} t\,\,\mathrm{d} B_t=0,\qquad \,\mathrm{d} t^{2}=0 . \]

连续半鞅

\(X_t\) 是关于 \(\mathcal{F}_t\) 的连续半鞅是指

\[X_t\sim\mathcal{F}_t,\qquad X_t=M_t+A_t, \]

其中 \(M_t\) 是局部鞅，\(A_t\) 是连续有限变差过程，\(A_0=0\)。

注.

这种分解是唯一的。

\[X_t=M_t+A_t=\tilde M_t+\tilde A_t \ \Longrightarrow\ M_t-\tilde M_t=\tilde A_t-A_t=k \]

\[\Longrightarrow\ \langle k\rangle=0,\quad k\ \text{是鞅},\quad k=k_0=0 . \]

定义：\(\langle X_t\rangle=\langle M_t\rangle\)。

定义是自洽的，因为有关协方差过程是相同的。

\[\sum_{t_i}\bigl(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}\bigr)^{2}\xrightarrow{\ \mathbb{P}\ }\langle X\rangle_t, \qquad \|\Pi\|\to0 . \]

\[\begin{aligned} \sum_{t_i}\bigl(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}\bigr)^{2} &=\sum\bigl(M_{t_{i+1}}+A_{t_{i+1}}-M_{t_i}-A_{t_i}\bigr)^{2}\\ &=\sum\bigl(M_{t_{i+1}}-M_{t_i}\bigr)^{2} +2\sum\bigl(M_{t_{i+1}}-M_{t_i}\bigr)\bigl(A_{t_{i+1}}-A_{t_i}\bigr) +\sum\bigl(A_{t_{i+1}}-A_{t_i}\bigr)^{2}\\ &\qquad\qquad\downarrow\mathbb{P}\ \langle X\rangle \qquad\qquad\qquad\downarrow\mathbb{P}\ 0 \end{aligned} \]

\[\le 2\left\lvert M_{t_{i+1}}-M_{t_i} \right\rvert\left\lvert A_{t_{i+1}}-A_{t_i} \right\rvert \le\sqrt{\sum\bigl(M_{t_{i+1}}-M_{t_i}\bigr)^{2}}\sqrt{\sum\bigl(A_{t_{i+1}}-A_{t_i}\bigr)^{2}} \xrightarrow{\ \mathbb{P}\ }0 \]

\[\int H_s\,\mathrm{d} X_s=\int H_s\,\mathrm{d} M_s+\int H_s\,\mathrm{d} A_s . \]

对于 \(f\in C_c^{2}(\mathbb{R})\)，

\[f(X_t)-f(X_0)=\int_0^{t}f'(X_s)\,\mathrm{d} X_s+\frac12\int_0^{t}f''(X_s)\,\mathrm{d}\langle X\rangle_s . \]

对于高维半鞅 \(\{X_t^{(k)},\ 1\le k\le d\}\) w.r.t. \(\{\mathcal{F}_t\}\)，
即定义为 \(X_t^{(k)}=M_t^{(k)}+A_t^{(k)}\)，\(M\) 为局部鞅，\(A\) 为有限变差过程。

定义协方差过程

\[\langle X^{(i)},\,X^{(j)}\rangle_t:=\langle M^{(i)},\,M^{(j)}\rangle_t . \]

则有 Itô 公式（\(f\in C_c^{2}(\mathbb{R}^{d})\)）：

\[f(X_t)=f(X_0)+\int_0^{t}\sum_{i=1}^{d}\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_t)\,\mathrm{d} X_t +\frac12\int_0^{t}\sum_{i,j=1}^{d}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(X_t)\,\mathrm{d}\langle X_t^{i},\,X_t^{j}\rangle . \]

推论：分部积分公式

\[X_tY_t=X_0Y_0+\int Y_t\,\mathrm{d} X_t+\int X_t\,\mathrm{d} Y_t+\tfrac12\cdot2\,\,\mathrm{d}\langle X_t,\,Y_t\rangle, \]

\[\Longrightarrow\ X_tY_t=X_0Y_0+\int Y_t\,\mathrm{d} X_t+\int X_t\,\mathrm{d} Y_t+\langle X_t,\,Y_t\rangle . \]

例子：Black–Scholes 模型

\[\frac{\,\mathrm{d} X_t}{X_t}=\mu\,\mathrm{d} t+\sigma\,\mathrm{d} B_t . \]

思路 \(\log X_t=\int\mu\,\mathrm{d} t+\int\sigma\,\mathrm{d} B_t\)，

\[\,\mathrm{d}\log X_t=\frac1{X_t}\,\mathrm{d} X_t-\frac12\frac1{X_t^{2}}\,\mathrm{d}\langle X\rangle_t, \]

\[\,\mathrm{d} X_t=\mu X_t\,\mathrm{d} t+\sigma X_t\,\mathrm{d} B_t, \qquad X_t=\underbrace{\int\mu X_t\,\mathrm{d} t}_{\text{有界变差}}+\underbrace{\int\sigma X_t\,\mathrm{d} B_t}_{\text{鞅}}, \]

\[\langle X\rangle_t=\Bigl\langle\int\sigma X_t\,\mathrm{d} B_t\Bigr\rangle=\int\sigma^{2}X_t^{2}\,\mathrm{d} t, \qquad \,\mathrm{d}\langle X\rangle_t=\sigma^{2}X_t^{2}\,\mathrm{d} t . \]

\[\Longrightarrow\ \,\mathrm{d}\log X_t=\mu\,\mathrm{d} t+\sigma\,\mathrm{d} B_t-\tfrac12\sigma^{2}\,\mathrm{d} t, \]

\[\log X_t-\log X_0=\bigl(\mu-\tfrac12\sigma^{2}\bigr)t+\sigma B_t, \]

\[\Longrightarrow\ X_t=X_0\exp\Bigl(\bigl(\mu-\tfrac12\sigma^{2}\bigr)t+\sigma B_t\Bigr), \]

称 \(X_t\) 为几何布朗运动。

\[\mu>\frac{\sigma^{2}}{2}:\ \lim_tX_t=\infty\ \text{a.s.}; \qquad \mu<\frac{\sigma^{2}}{2}:\ \lim_tX_t=0\ \text{a.s.}; \]

\[\mu=\frac{\sigma^{2}}{2}:\ X\ \text{在}\ [0,\infty)\ \text{上为鞅}. \]

例子：Ornstein–Uhlenbeck process

\[\,\mathrm{d} X_t=\,\mathrm{d} B_t-rX_t\,\mathrm{d} t, \]

\[\begin{aligned} \,\mathrm{d}\bigl(e^{rt}X_t\bigr) &=rX_te^{rt}\,\mathrm{d} t+e^{rt}\,\mathrm{d} X_t+\,\mathrm{d}\langle e^{rt},\,X_t\rangle\\ &=rX_te^{rt}\,\mathrm{d} t+e^{rt}\,\mathrm{d} B_t-re^{rt}X_t\,\mathrm{d} t\\ &=e^{rt}\,\mathrm{d} B_t . \end{aligned} \]

\[e^{rt}X_t-X_0=\int_0^{t}e^{rs}\,\mathrm{d} B_s, \qquad X_t=e^{-rt}\Bigl(X_0+\int_0^{t}e^{rs}\,\mathrm{d} B_s\Bigr). \]

\[e^{-rt}\int_0^{t}e^{rs}\,\mathrm{d} B_s \xrightarrow{\ \text{Riemann 和}\ }\sim N\Bigl(0,\ \tfrac1{2r}\bigl(1-e^{-2rt}\bigr)\Bigr), \]

\[\int_0^{t}e^{rs}\,\mathrm{d} t=\frac{e^{rs}}{r}\Big|_{0}^{t}=\frac{e^{rt}-1}{r}, \qquad e^{-2rt}\int_0^{t}e^{2rs}\,\mathrm{d} s=\frac1{2r}\bigl(1-e^{-2rt}\bigr). \]

若 \(t\to\infty\)，\(X_t\approx e^{-rt}X_0+N\bigl(0,\tfrac1{2r}\bigr)\)。

Lévy's characterization of Brownian motion

假定 \(\{X^{(1)},\dots,X^{(d)}\}\) 是连续适应过程，使得 \(M_t^{(i)}=X_t^{(i)}-X_0^{(i)}\) 是连续局部鞅，
\(\langle M^{(i)},M^{(j)}\rangle_t=\delta_{ij}t\)，那么 \(X_t=(X_t^{(1)},\dots,X_t^{(d)})\) 是 \(d\) 维适应于 \(\{\mathcal{F}_t\}\) 的布朗运动。

证明.

\(f(x)=e^{i\xi\cdot x}\)，\(f(X_t)=e^{i\xi\cdot X_t}\)，

\[\frac{\partial f}{\partial x_i}=i\xi_ie^{i\xi\cdot x}, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=-\xi_i\xi_je^{i\xi\cdot x}, \]

\[\,\mathrm{d} f(X_t)=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(X_t)\,\mathrm{d} X_t^{i} +\frac12\sum_{i,j}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(X_t)\,\mathrm{d}\langle X^{i},X^{j}\rangle_t, \]

\[f(X_t)-f(X_0)=\sum_i i\xi_i\int_0^{t}e^{i\xi\cdot X_s}\,\mathrm{d} X_s^{i} -\sum_i\xi_i^{2}\int_0^{t}e^{i\xi\cdot X_s}\,\mathrm{d} s, \]

\[\begin{aligned} \forall A\in\mathcal{F}_t,\quad \mathbb{E}\bigl(\mathbf{1}_A(f(X_t)-f(X_0))\bigr) &=\sum_i\mathbb{E}\int_0^{t}\mathbf{1}_A\,i\xi_ie^{i\xi X_s}\,\mathrm{d} X_s^{i} -\frac12\left\lvert \xi \right\rvert^{2}\mathbb{E}\int_0^{t}\mathbf{1}_Ae^{i\xi X_s}\,\mathrm{d} s\\ &\qquad\qquad\downarrow 0 \end{aligned} \]

\[\Longrightarrow\ \mathbb{E}\mathbf{1}_Af(X_t)=-\frac12\left\lvert \xi \right\rvert^{2}\int_0^{t}\mathbb{E}\mathbf{1}_Af(X_s)\,\mathrm{d} s, \]

\[\Longrightarrow\ \mathbb{E}\mathbf{1}_Af(X_t)=e^{-\frac{\left\lvert \xi \right\rvert^{2}}{2}t}\,\mathbb{P}(A). \]

因而 \(X_t\) 各分量独立，为高斯分布 \(\sim N(0,t)\)。

对 \(X_t-X_s\) 同理，有平稳增量性和独立增量性。

推论：任何一个实值连续局部鞅是时间变换下的布朗运动。
∎

证明.

假定 \(\Lambda_t\) 满足上述条件，

\[\tau_t=\inf\{s\ge0:\ \langle X\rangle_s\ge t\},\qquad t\ge0, \]

\[M_t=X_{\tau_t}\ \Longrightarrow\ \langle M\rangle_t=\langle X\rangle_{\tau_t}=t \ \Longrightarrow\ M_t\ \text{为一维布朗运动.} \]

∎

随机微分方程

\[\,\mathrm{d} X_t=b(t,X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma(t,X_t)\,\mathrm{d} B_t, \qquad X_0=\xi . \]

应该理解为积分方程

\[X_t=\xi+\int_0^{t}b(s,X(s))\,\mathrm{d} s+\int_0^{t}\sigma(s,X(s))\,\mathrm{d} B_s . \]

强解：给一个 \(\xi\) 和 \(B_t\)，\(X_t\) 在相同的概率空间中构造并满足

\[\,\mathrm{d} X_t=b(t,X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma(t,X_t)\,\mathrm{d} B_t,\qquad X_0=\xi . \]

弱解：可以找到一概率空间，上面的一个 \(y\overset{d}{=}\xi\) 和一个布朗运动 \(W_t\)，\(\tilde X_t\) 满足

\[\,\mathrm{d}\tilde X_t=b(t,\tilde X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma(t,\tilde X_t)\,\mathrm{d} W_t,\qquad \tilde X_0=\xi . \]

定理 7.

令 \(T>0\)，

\[b(t,x):[0,T]\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}, \qquad \sigma(t,x):[0,T]\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n\times d}, \]

满足

\[\left\lvert b(t,x) \right\rvert+\left\lvert \sigma(t,x) \right\rvert\le C(1+\left\lvert x \right\rvert), \]

与

\[\left\lvert b(t,x)-b(t,y) \right\rvert+\left\lvert \sigma(t,x)-\sigma(t,y) \right\rvert\le C\left\lvert x-y \right\rvert. \]

\(\xi\) 是一个与 \(\mathcal{F}_{\infty}^{\circ}=\sigma\{B_s,\ s\in[0,\infty)\}\) 独立的随机变量，\(\mathbb{E}\xi^{2}<\infty\)，那么

\[\,\mathrm{d} X_t=b(t,X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma(t,X_t)\,\mathrm{d} B_t,\qquad X_0=\xi \]

有唯一连续强解。

反例：

\[\begin{cases} \,\mathrm{d} X_t=X_t^{2}\,\mathrm{d} t\\ X_0=1 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\quad -\frac1{X_t}+1=t \qquad\Longrightarrow\quad X_t=\frac1{1-t}, \]

\[\begin{cases} \,\mathrm{d} X_t=3X_t^{2/3}\,\mathrm{d} t\\ X_0=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} X_t\equiv0\\ X_t=t^{3} \end{cases} \]

唯一性

若 \(X,Y\) 为两解，

\[(X_t-Y_t)^{2} =\Bigl(\int_0^{t}b(s,X_s)\,\mathrm{d} s-\int_0^{t}b(s,Y_s)\,\mathrm{d} s +\int_0^{t}\sigma(s,X_s)\,\mathrm{d} B_s-\int_0^{t}\sigma(s,Y_s)\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}, \]

\[\begin{aligned} \mathbb{E}(X_t-Y_t)^{2} &\le 2\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{t}b(s,X_s)-b(s,Y_s)\,\mathrm{d} s\Bigr)^{2} +2\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{t}\bigl(\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s)\bigr)\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}\\ &\le 2\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{t}\left\lvert b(s,X_s)-b(s,Y_s) \right\rvert\,\mathrm{d} s\Bigr)^{2} +2\mathbb{E}\int_0^{t}\bigl(\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s)\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s\\ &\le 2\mathbb{E}\cdot t\int_0^{t}\bigl(b(s,X_s)-b(s,Y_s)\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s +2\mathbb{E}\int_0^{t}\bigl(\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s)\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s\\ &\le 2tC\,\mathbb{E}\int_0^{t}(X_s-Y_s)^{2}\,\mathrm{d} s +2C\,\mathbb{E}\int_0^{t}(X_s-Y_s)^{2}\,\mathrm{d} s . \end{aligned} \]

设 \(u_t=\mathbb{E}(X_t-Y_t)^{2}\)，则

\[u_t\le(2TC+2C)\int_0^{t}u_s\,\mathrm{d} s\le(2TC+2C)\int_0^{t}u_s\,\mathrm{d} s, \]

\[\Bigl(e^{-At}u_t-e^{-At}\int_0^{t}u_s\,\mathrm{d} s\Bigr)\le0, \]

\[\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}e^{-At}\int_0^{t}u_s\,\mathrm{d} s\le0 \ \Longrightarrow\ e^{-At}\int_0^{t}u_s\,\mathrm{d} s=0 \ \Longrightarrow\ u_t=0 . \]

存在性：思路是逐步迭代

\(X_t^{0}=\xi\)，假定已给出 \(X_t^{n}\)，

\[X_t^{n+1}=\int_0^{t}b\bigl(s,X_s^{n}\bigr)\,\mathrm{d} t+\int_0^{t}\sigma\bigl(s,X_s^{n}\bigr)\,\mathrm{d} B_s+\xi . \]

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(X_t^{n}-X_t^{n-1}\bigr)^{2} &=\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{t}b(s,X_s^{n})-b(s,X_s^{n-1})\,\mathrm{d} s +\int_0^{t}\sigma(s,X_s^{n})-\sigma(s,X_s^{n-1})\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}\\ &\le 2\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{t}b(s,X_s^{n})-b(s,X_s^{n-1})\,\mathrm{d} s\Bigr)^{2} +2\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{t}\sigma(s,X_s^{n})-\sigma(s,X_s^{n-1})\,\mathrm{d} B_s\Bigr)^{2}\\ &\le 2T\mathbb{E}\int_0^{t}\bigl(b(s,X_s^{n})-b(s,X_s^{n-1})\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s +2\mathbb{E}\int_0^{t}\bigl(\sigma(s,X_s^{n})-\sigma(s,X_s^{n-1})\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s\\ &\le(2TC+2C)\int_0^{t}\mathbb{E}\bigl(X_s^{n}-X_s^{n-1}\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s \end{aligned} \]

\[\Longrightarrow\ \mathbb{E}\bigl(X_t^{n}-X_t^{n-1}\bigr)^{2} \le(2TC+2C)^{n-1}\int_0^{t}\cdots\int_0^{s_2}\mathbb{E}\bigl(X_{s_1}-X_{s_0}\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s_1, \]

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\bigl(X_s^{1}-X_s^{0}\bigr)^{2} &\le 2\mathbb{E}\Bigl(\int_0^{T}b(s,\xi)\,\mathrm{d} s\Bigr)^{2}+\sigma(s,\xi)^{2}\,\mathrm{d} s\\ &\le 2T\mathbb{E}\int_0^{T}C(1+\left\lvert \xi \right\rvert)^{2}\,\mathrm{d} s\\ &=2TC\,\mathbb{E}(1+\left\lvert \xi \right\rvert)^{2}\int\,\mathrm{d} s, \end{aligned} \]

\[\Longrightarrow\ \mathbb{E}\bigl(X_t^{n}-X_t^{n-1}\bigr)^{2} \le\frac{(2TC+2C)^{n-1}\,2TC\,\mathbb{E}(1+\left\lvert \xi \right\rvert)^{2}\,T^{n}}{n!}. \]

\[\begin{aligned} \mathbb{P}\Bigl(\left\lvert X_t^{n}-X_t^{n-1} \right\rvert>2^{-n}\Bigr) &\le 2^{2n}(2TC+2C)^{n-1}\frac{2TC\,\mathbb{E}(1+\left\lvert \xi \right\rvert)^{2}T^{n}}{n!}\\ &\le\sum_n\mathbb{P}\Bigl(\sup_t\left\lvert X_t^{n}-X_t^{n-1} \right\rvert>2^{-n}\Bigr)<\infty\quad\text{收敛} \end{aligned} \]

\(\forall a>0\)，w，\(\exists N\)，\(\forall n>N\)，\(X_t^{n}-X_t^{n-1}<2^{-n} \Rightarrow\sum X_t^{n}-X_t^{n-1}=X_t^{n}-\xi\) 收敛。

\(\Rightarrow X_t^{n}\) 几乎必然收敛到一个随机变量，且由于控制与 \(t\) 无关，关于 \(t\) 一致。

显然 \(\lim X_t^{n}\) 满足方程，且由一致收敛，\(\lim X_t^{n}\) 连续。

转移半群与无穷小生成元

\[\,\mathrm{d} X_t=b(X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma(X_t)\,\mathrm{d} B_t \]

在上面两个解下，有强马氏性：

\[\mathbb{E}_x\bigl(f(X_{T+t})\mid\mathcal{F}_T\bigr)=\mathbb{E}_{X_T}\bigl(f(X_{T+t})\bigr). \]

令

\[P_tf(x):=\mathbb{E}_x\bigl[f(X_t)\bigr],\qquad P_0f=f . \]

对于 \(t,s>0\)，

\[\begin{aligned} P_{t+s}f(x)&=\mathbb{E}_xf(X_{t+s})=\mathbb{E}_x\Bigl(\mathbb{E}\bigl(f(X_{t+s})\mid\mathcal{F}_s\bigr)\Bigr) =\mathbb{E}_x\mathbb{E}_{X_s}f(X_{t+s})\\ &=\mathbb{E}_x\bigl(P_tf(X_s)\bigr)=P_sP_tf(x), \end{aligned} \]

具有半群的性质。

无穷小生成元

\[Lf(x)=\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}P_tf(x)\Big|_{t=0} =\lim_{\delta\to0}\frac{P_\delta f(x)-f(x)}{\delta}, \]

\(L\) 的定义域为 \(\mathrm{Dom}(L)=\{f:\ \text{上述极限存在}\}\)。

当 \(t>0\)，

\[\begin{aligned} \frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}P_tf(x) &=\lim_{\delta\to0}\frac{P_{t+\delta}f(x)-P_tf(x)}{\delta} =\frac{P_tP_\delta f(x)-P_tf(x)}{\delta} =LP_tf(x),\\ \frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}P_tf(x) &=\lim_{\delta\to0}\frac{P_{t+\delta}f(x)-P_tf(x)}{\delta} =P_t\lim_{\delta\to0}\frac{P_\delta f(x)-f(x)}{\delta} =P_tLf(x). \end{aligned} \]

第一个是科尔莫戈洛夫向后方程，第二个是福克–普朗克方程。

对于 \(f\in C_b^{2}(\mathbb{R})\)，\(P_tf(x)=\mathbb{E}_xf(X_t)\)，

\[\begin{aligned} f(X_t)-f(X_0) &=\int_0^{t}f'(X_s)\,\mathrm{d} X_s+\frac12\int_0^{t}f''(X_s)\,\mathrm{d}\langle X\rangle_s\\ &=\int_0^{t}f'(X_s)b(X_s)\,\mathrm{d} s+\int_0^{t}f'(X_s)\sigma(X_s)\,\mathrm{d} B_s +\frac12\int_0^{t}f''(X_s)\sigma(X_s)^{2}\,\mathrm{d} s, \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} P_tf(x)-f(x)&=\mathbb{E}_x\bigl(f(X_t)-f(X_0)\bigr)\\ &=\mathbb{E}_x\int_0^{t}f'(X_s)b(X_s)\,\mathrm{d} s +\mathbb{E}_x\int_0^{t}f'(X_s)\sigma(X_s)\,\mathrm{d} B_s +\frac12\mathbb{E}_x\int_0^{t}f''(X_s)\sigma^{2}(X_s)\,\mathrm{d} s\\ &=\mathbb{E}_x\int_0^{t}f'(X_s)b(X_s)\,\mathrm{d} s +\frac12\mathbb{E}_x\int_0^{t}f''(X_s)\sigma^{2}(X_s)\,\mathrm{d} s, \end{aligned} \]

\[\Longrightarrow\ Lf(x)=f'(x)b(x)+\frac12f''(x)\sigma^{2}(x), \]

所以 \(C_b^{2}\subset\mathrm{Dom}(L)\)。

对于高维形式 \(\,\mathrm{d} X_t=b(X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma(X_t)\,\mathrm{d} B_s\)，

\[Lf(x)=\frac12\sum_{i,j}a_{ij}(x)\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x)+b(x)\cdot\nabla f(x), \]

其中 \((a_{ij})=\sigma(x)\sigma(x)^{T}\)。

\[P_tf(x)=\mathbb{E}_x\bigl(f(X_t)\bigr), \]

\[\begin{aligned} f(X_t)-f(x)&=\nabla f(X_t)\cdot\,\mathrm{d} X_t +\frac12\sum_{i,j}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(X_t)\,\mathrm{d}\langle X_t^{i},X_t^{j}\rangle\\ &=\nabla f(X_t)\sigma(X_t)\,\mathrm{d} B_s+\nabla f(X_t)b(X_t)\,\mathrm{d} X_t +\frac12\sum_{i,j}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}a_{ij}\,\mathrm{d} s, \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} \,\mathrm{d} X_t^{i}&=b^{i}(X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma^{i\cdot}(X_t)\,\mathrm{d} B_s,\\ \,\mathrm{d} X_t^{j}&=b^{j}(X_t)\,\mathrm{d} t+\sigma^{j\cdot}(X_t)\,\mathrm{d} B_s \end{aligned} \]

\[\Longrightarrow\ \,\mathrm{d}\langle X^{i},X^{j}\rangle=\sigma^{i\cdot}(X_t)\sigma^{j\cdot}(X_t)\,\mathrm{d} s \ \Longrightarrow\ (a_{ij})=\sigma\cdot\sigma^{T}, \]

\[\lim_{t\to0}\frac{P_tf(x)-f(x)}{t} =\mathbb{E}\,\nabla f(X_t)\sigma(X_t)\,\mathrm{d} B_s-\nabla f(X_t)b(X_t)\,\mathrm{d} X_t +\frac12\sum_{i,j}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}a_{ij} \]

\[=\nabla f(x)\cdot b(x)+\frac12\sum_{i,j}\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x)\,a_{ij}(x). \]

Kolmogorov 方程

Kolmogorov 向后方程

\[\frac{\partial}{\partial t}P_tf(x)=LP_tf(x). \]

若 \(X_t\) 有密度 \(p(t,x,y)\)（从 \(x\) 出发，过时间 \(t\) 后到达 \(y\) 的密度函数），

\[P_tf(x)=\mathbb{E}_xf(X_t)=\int f(y)p(t,x,y)\,\mathrm{d} y, \]

\[\int f(y)\frac{\partial}{\partial t}p(t,x,y)\,\mathrm{d} y=\int f(y)Lp(t,x,y)\,\mathrm{d} y, \]

\[\frac{\partial}{\partial t}p(t,x,y)=Lp(t,x,y)\quad\text{a.s.} \]

Fokker–Planck equation

\[\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}P_tf(x)=P_tLf, \]

\[\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}\int_{\mathbb{R}^{n}}p(t,x,y)f(y)\,\mathrm{d} y =\int_{\mathbb{R}^{n}}p(t,x,y)Lf(y)\,\mathrm{d} y =\int_{\mathbb{R}^{n}}L^{*}p(t,x,y)f(y)\,\mathrm{d} y, \]

\(L^{*}\) 为对偶算子：\(\varphi\in C_c^{2}(\mathbb{R}^{n})\)，

\[L^{*}\varphi(y)=\sum_{i,j}\frac{\partial^{2}}{\partial x_i\partial x_j}\bigl(a_{ij}(y)\varphi(y)\bigr) -\sum_{j}\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(b_j(y)\varphi(y)\bigr), \]

\[\Longrightarrow\ \frac{\partial}{\partial t}p(t,x,y)=L_y^{*}p(t,x,y). \]

\(\mu_t\) 代表 \(X_t\) 的分布，\(\mu_t(\,\mathrm{d} y)=\mu_t(y)\,\mathrm{d} y\)，

\[\mu_t(y)=\int_{\mathbb{R}^{n}}p(t,x,y)\mu_0(\,\mathrm{d} x), \]

\[\Longrightarrow\ \frac{\partial}{\partial t}\mu_t(y)=L_y^{*}\mu_t(y). \]

Girsanov transform

\[\mathbb{Q}\ll\mathbb{P},\qquad M_t=\frac{\,\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\,\mathrm{d}\mathbb{P}}, \]

\(\{X_t\}\) 是一个 \(\mathbb{Q}\)-鞅 \(\Longleftrightarrow\) \(\{M_tX_t\}\) 是一个 \(\mathbb{P}\)-鞅。

\[\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\bigl(X_t\mid\mathcal{F}_s\bigr)=X_s \iff \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\bigl(\mathbf{1}_AX_t\bigr)=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\bigl(\mathbf{1}_AX_s\bigr) \qquad\forall A\in\mathcal{F}_s \]

\[\iff \int \mathbf{1}_AX_tM_t\,\mathrm{d}\mathbb{P}=\int \mathbf{1}_AX_sM_s\,\mathrm{d}\mathbb{P} \iff M_tX_t\ \text{是鞅}. \]

定理 8.

假定 \(\{B_t\}\) 是一个布朗运动，\(\{\xi_t,\ t\ge0\}\) 是适应过程，

\[\mathbb{E}\exp\Bigl(\frac12\int_0^{T}\left\lvert \xi_s \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s\Bigr)<\infty, \]

\[M_t=\exp\Bigl\{\int_0^{t}\xi_s\,\mathrm{d} B_s-\frac12\int_0^{t}\left\lvert \xi_s \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s\Bigr\} \]

是鞅。

证明.

\(\,\mathrm{d} M_t=M_t\xi_t\,\mathrm{d} B_t\)。

令 \(X_t=\int_0^{t}\xi_s\,\mathrm{d} B_s-\frac12\int_0^{t}\left\lvert \xi_s \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s\)，\(\,\mathrm{d} M_t=M_t\xi_t\,\mathrm{d} B_t\)
\(\Rightarrow M_t\) 是局部鞅，用 Novikov 条件，\(M_t\) 是鞅。
∎

定理 9（Girsanov）.

\[\frac{\,\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\,\mathrm{d}\mathbb{P}}=M_t=\exp\Bigl\{\int_0^{t}\xi_s\,\mathrm{d} B_s-\frac12\int_0^{t}\left\lvert \xi_s \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s\Bigr\}, \]

\[\tilde B_t:=B_t-\int_0^{t}\xi_s\,\mathrm{d} s \]

是在 \(\mathbb{Q}\) 下的布朗运动。

证明.

\[\begin{aligned} \,\mathrm{d}\bigl(\tilde B_tM_t\bigr) &=M_t\,\mathrm{d}\tilde B_t+\tilde B_t\,\mathrm{d} M_t+\,\mathrm{d}\langle M,\tilde B\rangle_t\\ &=M_t\bigl(\,\mathrm{d} B_t-\xi_t\,\mathrm{d} s\bigr)+\tilde B_t\,\mathrm{d} M_t+M_t\xi_t\,\mathrm{d} t\\ &=M_t\,\mathrm{d} B_t+\tilde B_t\,\mathrm{d} M_t, \end{aligned} \]

\(\Rightarrow M_t\tilde B_t\) 是鞅。

在 \(\mathbb{P}\) 下
\(\langle\tilde B^{i},\tilde B^{j}\rangle_t=\langle B^{i},B^{j}\rangle_t =\begin{cases}t&i=j\\0&i\ne j\end{cases}\)，

在 \(\mathbb{Q}\) 下 \(\langle\tilde B^{i},\tilde B^{j}\rangle_t=\delta_{ij}t\)，故 \(\mathbb{Q}\ll\mathbb{P}\)，
\(\Rightarrow\tilde B\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上是布朗运动。
∎

应用：假定 \(b(t,x):[0,\infty)\times\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\) 有界，

\[\,\mathrm{d} X_t=\,\mathrm{d} B_t+b(t,X_t)\,\mathrm{d} t,\qquad X_0=x \]

有一个唯一弱解。

证明（存在性）.

① 存在性：
\(\dfrac{\,\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\,\mathrm{d}\mathbb{P}}\Big|_{\mathcal{F}_t} =\exp\Bigl\{\int_0^{t}b(s,X_s)\,\mathrm{d} X_s-\frac12\int_0^{t}\left\lvert b(s,X_s) \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s\Bigr\}\)，
\(X_t\) 为 \(\mathbb{P}\) 上的布朗运动，

\[\Rightarrow\ \tilde B_t:=X_t-x-\int_0^{t}b(s,X_s)\,\mathrm{d} s \ \text{为}\ \mathbb{Q}\ \text{上的布朗运动}, \]

\(X_t\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上解上述方程。
② 唯一性：

\[\,\mathrm{d} X_t=\,\mathrm{d} B_t+b(t,X_t)\,\mathrm{d} t, \]

令

\[N_t=\exp\Bigl\{-\int_0^{t}b(s,X_s)\,\mathrm{d} B_s-\frac12\int_0^{t}\left\lvert b(s,X_s) \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s\Bigr\}, \qquad \frac{\,\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\,\mathrm{d}\mathbb{P}}\Big|_{\mathcal{F}_t}=N_t, \]

\[X_t-x=B_t+\int_0^{t}b(s,X_s)\,\mathrm{d} s \]

是 \(\mathbb{Q}\) 上的布朗运动，
\(\Rightarrow X_t\) 在 \(\mathbb{Q}\) 上按分布唯一确定 \(\Rightarrow X_t\) 唯一。

∎

SDE 与 PDE

回顾 \(n\) 维 SDE

\[\,\mathrm{d} X_t=\sigma(X_t)\,\mathrm{d} B_t+b(X_t)\,\mathrm{d} t, \]

\[\sigma(x)=\bigl(\sigma_{ij}(x)\bigr)_{n\times n},\quad b(x)=\begin{pmatrix}b_1(x)\\ \vdots\\ b_n(x)\end{pmatrix},\quad X_t=\begin{pmatrix}X_t^{1}\\ \vdots\\ X_t^{n}\end{pmatrix}, \]

分量上

\[\,\mathrm{d} X_t^{i}=\sum_{j=1}^{n}\sigma_{ij}(X_t)\,\mathrm{d} B_t^{j}+b_i(X_t)\,\mathrm{d} t, \]

\[\,\mathrm{d}\langle X^{i},X^{j}\rangle_t=\,\mathrm{d} X_t^{i}\,\mathrm{d} X_t^{j} =\sum_{k=1}^{n}\sigma_{ik}(X_t)\sigma_{jk}(X_t)\,\mathrm{d} t=a_{ij}(X_t)\,\mathrm{d} t, \]

\[A(t,x):=\bigl(a_{ij}(x)\bigr)=\sigma(x)\sigma(x)^{T}. \]

考虑 \(f(t,x)\in C^{1,2}([0,\infty)\times\mathbb{R}^{n})\)，

\[f(t,X_t)=f(0,X_0)+\text{鞅部分}+\int_0^{t}\Bigl(\frac{\partial}{\partial s}+L\Bigr)f(s,X_s)\,\mathrm{d} s, \]

其中

\[L\psi(x)=\frac12\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{\partial^{2}\psi(x)}{\partial x_i\partial x_j} +b(x)\cdot\nabla\psi(x). \]

定理 10.

假定 \(u=u(t,x)\in C^{1,2}([0,\infty)\times\mathbb{R})\) 是

\[\frac{\partial u}{\partial t}=Lu(t,x),\qquad u(0,x)=\varphi(x) \]

的解，那么 \(u(t,x)=\mathbb{E}_x\bigl[\varphi(X_t)\bigr]\)。

证明.

固定 \(T\)，\(f(t,x)=u(T-t,x)\)，

\[\Rightarrow\ \frac{\partial f}{\partial t}+Lf=0 \ \Rightarrow\ f(t,X_t)\ \text{是鞅}, \]

\[\mathbb{E}_xf(0,X_0)=\mathbb{E}_xf(T,X_T), \qquad u(T,x)=\mathbb{E}_x\varphi(X_T). \]

∎

Black–Scholes 模型

\[\,\mathrm{d} S_t=S_t\bigl(\mu_t\,\mathrm{d} t+\sigma_t\,\mathrm{d} B_t\bigr), \]

\(r_t\) 为利率（银行），\(\mu_t\) 为增长率，\(\tilde\mu_t=\mu_t-r_t\) 为真正的利率，\(\sigma_t\) 为扰动项。

欧氏期权：持有者在 \(T\) 时有以 \(K\) 的价格买入 \(S\) 的权利，最终收益为 \((S_T-K)^{+}\)。

问题是如何定价。方法是构造一个投资策略 \(\bigl(w_0(t),w_1(t),\dots,w_d(t)\bigr)\)，
使得其价值在 \(T\) 时刻恰好是 \((S_T-K)^{+}\)，构建投资策略所需的起始资金为合理定价。

将最终收益抽象为 \(\psi(S_T)\)。

为了使得货币价格有可比性，我们引入折现过程

\[\,\mathrm{d} A_t=r(t)A_t\,\mathrm{d} t,\qquad A_t=e^{\int r(s)\,\mathrm{d} s}. \]

期权行为

\[\,\mathrm{d} S_t^{(i)}=S_t^{(i)}\Bigl(r(t)\,\mathrm{d} t+\tilde\mu_i(t)\,\mathrm{d} t+\sum_{j=1}^{d}\sigma_{ij}(t)\,\mathrm{d} B_t^{(j)}\Bigr), \]

假定全部都有界。

\[\begin{aligned} \,\mathrm{d}\bigl(A_t^{-1}S_t^{(i)}\bigr) &=S_t^{(i)}\,\mathrm{d} A_t^{-1}+A_t^{-1}\,\mathrm{d} S_t^{(i)}\\ &=S_t^{(i)}A_t^{-1}\bigl(-r(t)\,\mathrm{d} t\bigr) +S_t^{(i)}A_t^{-1}\Bigl(r(t)\,\mathrm{d} t+\tilde\mu_i(t)\,\mathrm{d} t+\sum_j\sigma_{ij}(t)\,\mathrm{d} B_t^{(j)}\Bigr)\\ &=A_t^{-1}S_t^{(i)}\sum_j\sigma_{ij}(t)\,\mathrm{d}\tilde B_t^{(j)}, \end{aligned} \]

\[\tilde B_t^{(j)}=B_t^{(j)}+\int_0^{t}\sigma^{jk}(s)\tilde\mu_k(s)\,\mathrm{d} s . \]

投资组合 \(\bigl(w_0(t),w_1(t),\dots,w_d(t)\bigr)\)，

财富过程

\[X_t=\sum_{i=0}^{d}w_i(t)S_t^{(i)},\qquad S_t^{(0)}:=A_t . \]

自融资过程

\[\,\mathrm{d}\bigl(A_t^{-1}X_t\bigr)=\sum_{i,j=1}^{d}w_i(t)A_t^{-1}S_t^{(i)}\sigma_{ij}(t)\,\mathrm{d}\tilde B_t^{(j)} . \]

目标：找 \(\bigl(w_0(t),w_1(t),\dots,w_d(t)\bigr)\) 使得 \(X_T=\psi(S_T)\)。

定理 11（对布朗运动的鞅表示定理）.

对于 \(\xi\in L^{2}(\mathcal{F}_T^{+})\)，\(\exists\,\mathcal{F}_s^{+}\) 可测过程 \(H_s\)，\(\mathbb{E}\int_0^{T}\left\lvert H_s \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s<\infty\)，

\[\xi=\mathbb{E}\xi+\int_0^{T}H_s\,\mathrm{d} B_s . \]

\(H_s\) 在下面的意义下唯一：

\[\mathbb{E}\int_0^{T}\left\lvert H_s-H_s' \right\rvert^{2}\,\mathrm{d} s=0 . \]

令

\[b_j(s)=\sum_{k=1}^{d}\sigma^{jk}(s)\tilde\mu_k(s). \]

定理 12（Risk-neutral measure \(\mathbb{Q}\)）.

\[\frac{\,\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\,\mathrm{d}\mathbb{P}} =\exp\Bigl(-\sum_{j=1}^{d}\int_0^{t}b_j(s)\,\mathrm{d} B_s^{j} -\frac12\sum_{j=1}^{d}\int_0^{t}\bigl(b_j(s)\bigr)^{2}\,\mathrm{d} s\Bigr), \]

在 \(\mathbb{Q}\) 的意义下

\[\bar B_t=B_t+\int_0^{t}b(s)\,\mathrm{d} s \]

是一个 BM。

所以在 \(\mathbb{Q}\) 下

\[\,\mathrm{d}\bigl(A_t^{-1}X_t\bigr)=\sum_{i,j}w_i(t)A_t^{-1}S_t^{(i)}\sigma_{ij}(t)\,\mathrm{d}\bar B_t^{(j)}, \]

\[A_t^{-1}X_t=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\bigl(A_T^{-1}X_T\mid\mathcal{F}_t^{+}\bigr) =\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\bigl(A_T^{-1}\psi(S_T)\mid\mathcal{F}_t^{+}\bigr), \]

\[X_0=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}A_T^{-1}\psi(S_T). \]

考虑 \(d=1\)，\(\,\mathrm{d} S_t=S_t(\mu\,\mathrm{d} t+\sigma\,\mathrm{d} B_t)\)，

\[\frac{\,\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\,\mathrm{d}\mathbb{P}} =\exp\Bigl(-\sigma^{-1}(\mu-r)B_t-\frac12\sigma^{-2}(\mu-r)^{2}t\Bigr), \]

在 \(\mathbb{Q}\) 下 \(\tilde B_t=B_t+\sigma^{-1}(\mu-r)t\) 是一个布朗运动，

\[X_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\bigl(\psi(S_T)\mid\mathcal{F}_t^{+}\bigr) =e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}_{S_t}\bigl(\psi(S_{T-t})\bigr) =e^{-r(T-t)}u(T-t,S_t), \]

\[u(t,x)=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}_x\bigl(\psi(S_T)\bigr), \]

进一步

\[X_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\Bigl(\psi\bigl(S_t\exp\bigl((T-t)(r-\tfrac{\sigma^{2}}2) +\sigma(\bar B_T-\bar B_t)\bigr)\bigr)\mid S_t\Bigr)=v(t,x), \]

\[\Longrightarrow\ \text{宏观 BS 方程}\ \frac{\partial u}{\partial t}=Lu . \]

高维 SDE 与 Itô 公式；Fokker–Planck 的再推导

\(f\in C_b^{2}(\mathbb{R}^{d})\)，\(t\ge0\)，

\[Lf(x)=\frac12\sum_{i,j=1}^{d}a_{ij}(t,x)\frac{\partial^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x) +\sum_{i=1}^{d}b_i(t,x)\frac{\partial f}{\partial x_i}(x). \]

由 Itô 公式

\[g(t,X_t)=g(0,X_0)+\int_0^{t}\nabla g(s,X_s)\sigma(s,X_s)\,\mathrm{d} B_s +\int_0^{t}(\partial_s+L)g(s,X_s)\,\mathrm{d} s . \]

令 \(g(t,x)=f(x)\)，求期望

\[\Longrightarrow\ \mathbb{E}\bigl(f(X_t)\bigr)=\mathbb{E} f(X_0)+\mathbb{E}\int_0^{t}Lf(X_s)\,\mathrm{d} s =\mathbb{E} f(X_0)+\int_0^{t}\mathbb{E} Lf(X_s)\,\mathrm{d} s . \]

\(\mu_t\) 代表 \(X_t\) 分布，

\[\int_{\mathbb{R}^{d}}f(y)\mu_t(\,\mathrm{d} y)=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(y)\mu_0(\,\mathrm{d} y) +\int_0^{t}\int_{\mathbb{R}^{d}}Lf(y)\mu_s(\,\mathrm{d} y)\,\mathrm{d} s, \]

\[\langle f,\mu\rangle=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(y)\mu(\,\mathrm{d} y), \]

\[\Longrightarrow\ \langle f,\mu_t\rangle=\langle f,\mu_0\rangle +\int_0^{t}\langle Lf,\mu_s\rangle\,\mathrm{d} s, \]

\[\frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}\langle f,\mu_t\rangle=\langle Lf,\mu_t\rangle=\langle f,L^{*}\mu\rangle \qquad (L^{*}\ \text{为对偶}), \]

\(L^{*}\) 为对偶算子，

\[\Longrightarrow\ \frac{\,\mathrm{d}}{\,\mathrm{d} t}\mu_t=L_t^{*}\mu_t . \]

若 \(\sigma(t,x)=I_{n\times n}\)，

\[\,\mathrm{d} X_t=\,\mathrm{d} B_t+b(t,X_t)\,\mathrm{d} t, \]

\[L_tf=\frac12\Delta f+b(t,x)\cdot\nabla f, \qquad L^{*}g=\frac12\Delta g-\mathrm{div}\bigl(b(t,x)g\bigr), \]

若 \(\mu_t(\,\mathrm{d} x)=p(t,x)\,\mathrm{d} x\)，

\[\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^{d}}f(x)p(t,x)\,\mathrm{d} x &=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(x)\mu_0(\,\mathrm{d} x)+\int_0^{t}\int_{\mathbb{R}^{d}}L_sf(y)p(s,y)\,\mathrm{d} y\,\mathrm{d} s\\ &=\int_{\mathbb{R}^{d}}f(x)\mu_0(\,\mathrm{d} x)+\int_0^{t}\int_{\mathbb{R}^{d}}f(x)L_s^{*}p(s,x)\,\mathrm{d} x\,\mathrm{d} s, \end{aligned} \]

\[\frac{\partial}{\partial t}p(t,x)=L_t^{*}p(t,x) =\frac12\Delta p(t,x)-\mathrm{div}\bigl(p(t,x)b(t,x)\bigr). \]

时间倒转

\[v_t=\mu_{T-t},\qquad g(t,x)=p(T-t,x), \]

\[\frac{\partial g}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial t}(T-t,x) =-\Bigl(\frac12\Delta p(T-t,x)-\mathrm{div}\bigl(p(T-t,x)b(T-t,x)\bigr)\Bigr) \]

\[=-\frac12\Delta p(T-t,x)+\mathrm{div}\bigl(p(T-t,x)b(T-t,x)\bigr) \]

\[=\frac12\Delta g(t,x)-\Delta p(T-t,x)+\mathrm{div}\bigl(g(T-t,x)b(T-t,x)\bigr) \]

\[\begin{aligned} \Delta p(T-t,x)&=\mathrm{div}\bigl(\nabla p(T-t,x)\bigr)\\ &=\mathrm{div}\bigl(p(T-t,x)\nabla\log p(T-t,x)\bigr)\\ &=\mathrm{div}\bigl(g(t,x)\nabla\log p(T-t,x)\bigr), \end{aligned} \]

\[\frac{\partial g(t,x)}{\partial t} =\frac12\Delta g(t,x) -\mathrm{div}\Bigl(\bigl(\underbrace{\nabla\log p(T-t,x)-b(T-t,x)}_{\tilde b(t,x)}\bigr)g(t,x)\Bigr) \]

\[\Longrightarrow\ g(t,x)\ \text{是}\ Y_t\ \text{的密度},\qquad \,\mathrm{d} Y_t=\,\mathrm{d} W_t+\tilde b(t,Y_t)\,\mathrm{d} t,\qquad Y_0\overset{d}{=}X_T . \]

\(\nabla\log p(T-t,x)\) 叫 Score function。

Ornstein–Uhlenbeck process

\[\,\mathrm{d} X_t=\,\mathrm{d} B_t-\lambda X_t\,\mathrm{d} t \ \Longrightarrow\ X_t=e^{-\lambda t}X_0+\int_0^{t}e^{-\lambda(t-s)}\,\mathrm{d} B_s . \]

对于 OU 过程 \(b(x)=-\lambda x\)，

\[\tilde b(t,x)=\nabla\log p(T-t,x)+\lambda x . \]

\(T\) 足够大，\(X_T\overset{d}{\approx}N\bigl(0,\tfrac1{2\lambda}\bigr)\)，

\[\,\mathrm{d} Y_t=\,\mathrm{d} W_t+\tilde b(t,Y_t)\,\mathrm{d} t,\qquad Y_0\overset{d}{=}X_T\approx N\bigl(0,\tfrac1{2\lambda}\bigr), \]

则 \(Y_T\overset{d}{=}X_0\)。

Feynman–Kac formula

\[\,\mathrm{d} X_t=\sigma(X_t)\,\mathrm{d} B_t+b(X_t)\,\mathrm{d} t, \]

\(q(x)\) 为 \(\mathbb{R}^{n}\) 上有界函数，如何解

\[\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=Lu(t,x)+q(x)u(t,x),\qquad u(0,x)=\varphi(x)? \]

定义

\[e_q(t):=\exp\Bigl(\int_0^{t}q(s)\,\mathrm{d} s\Bigr). \]

定理 13.

假定 \(u\in C^{1,2}([0,\infty)\times\mathbb{R}^{n})\) 是上面的解，

\[u(t,x)=\mathbb{E}_x\bigl(e_q(t)\varphi(X_t)\bigr). \]

证明.

\(T>0\)，\(Y_t=u(T-t,X_t)\)，\(Z_t=e_q(t)\)，

\[\,\mathrm{d} Y_t=-\partial_tu(T-t,X_t)\,\mathrm{d} t+\text{d martingale}+Lu(T-t,X_t)\,\mathrm{d} t, \]

\[\,\mathrm{d} Z_t=q(X_t)e_q(t)\,\mathrm{d} t, \]

\[\begin{aligned} \,\mathrm{d}\bigl(Y_tZ_t\bigr)&=Y_t\,\mathrm{d} Z_t+Z_t\,\mathrm{d} Y_t\\ &=e_q(t)\bigl(-\partial_tu+Lu+qu\bigr)(T-t,X_t)\,\mathrm{d} t+\text{d martingale}\\ &=\text{d martingale}. \end{aligned} \]

∎

Dirichlet boundary value problem

假定 \(D\subset\mathbb{R}^{n}\) 是一个光滑区域，\(h\in C^{2}(D)\cap C(\bar D)\) 是

\[\Delta h(x)=0,\qquad h=\varphi\ \text{on}\ \partial D \]

那么

\[h(x)=\mathbb{E}_x\bigl[\varphi(B_{T_D})\bigr], \]

\(T_D\) 是布朗运动第一次到达边界的时间。

若

\[(L+q)h(x)=0\ \text{in}\ D,\qquad h=\varphi\ \text{on}\ \partial D, \]

\[h(x)=\mathbb{E}_x\bigl(e_q(T_D)\varphi(X_{T_D})\bigr). \]