树论

一、树的基础概念与性质

基本概念

  1. 树：无环连通图
  2. 节点的度：节点连接的边数
  3. 叶子节点：度为1的节点
  4. 子树：以某个节点为根的树的一部分
  5. 深度与高度：根节点深度为0（或1），叶子节点高度为0（或1）

树的存储

  1. 邻接表：最常用的存储方式
  2. 前向星：常用于竞赛
  3. 父节点数组：记录每个节点的父节点
  4. 儿子列表：记录每个节点的所有儿子

例题

  1. 树的遍历：给定一棵树，输出前序、中序、后序遍历序列
  2. 树的节点统计：统计树中节点的度、叶子节点数量等
  3. 树的构建：根据给定信息构建树（如根据父子关系）

二、树的遍历与序列

深度优先搜索（DFS）

  1. 前序遍历：根 → 左 → 右
  2. 后序遍历：左 → 右 → 根
  3. 中序遍历：左 → 根 → 右（仅对二叉树有意义）

广度优先搜索（BFS）

  1. 层序遍历：按层遍历树节点
  2. 求层数/深度：BFS天然记录层数

树的序列表示

  1. 欧拉序：DFS进入和离开节点都记录
  2. 括号序：类似欧拉序的表示方法
  3. DFS序：记录节点被访问的顺序

例题

  1. 树的直径：通过两次DFS/BFS求树的直径
  2. 树的重心：通过DFS求树的重心
  3. 子树求和：通过DFS序将子树转化为区间问题

三、树的直径与重心

树的直径

定义：树上最长简单路径的长度

性质：

  1. 直径的两个端点一定是叶子节点
  2. 树中任意一点的最远点一定是直径的端点之一
  3. 所有直径一定经过树的重心（可能有多个）

求解方法：

  1. 两次DFS/BFS：任选一点找到最远点，再从该点找到最远点
  2. 树形DP：\(dp[u]\)表示以\(u\)为根的子树中最长路径长度

树的重心

定义：删除该节点后，最大连通块最小的节点

性质：

  1. 重心可能在边上（两个节点），但通常指节点重心
  2. 树的重心最多有两个
  3. 以重心为根时，所有子树大小不超过\(\frac{n}{2}\)

求解方法：

  1. DFS计算子树大小：同时计算删除该节点后的最大连通块大小
  2. 选择最大连通块最小的节点

例题

  1. 树的直径：求树的直径长度和直径路径
  2. 树的中心：求树上到所有节点距离之和最小的点
  3. 树网的核：在直径上选择一段路径，使得偏心距最小

四、最近公共祖先（LCA）

基本概念

定义：两个节点在树上的最近的公共祖先

求解方法

  1. 倍增法：

    • 预处理每个节点的\(2^k\)级祖先
    • 查询时先将两个节点调整到同一深度
    • 然后同时向上跳
    • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)预处理，\(O(\log n)\)查询

  2. 树链剖分：

    • 将树剖分成链
    • 查询时在链上跳跃
    • 时间复杂度：\(O(n)\)预处理，\(O(\log n)\)查询

  3. Tarjan离线算法：

    • 使用并查集
    • 在DFS过程中回答查询
    • 时间复杂度：\(O(n + q)\)

  4. RMQ+欧拉序：

    • 将LCA转化为RMQ问题
    • 使用ST表或线段树解决

应用

  1. 树上两点距离：\(dist(u, v) = depth[u] + depth[v] - 2 \times depth[lca(u, v)]\)
  2. 判断祖先关系：检查一个点是否是另一个点的祖先
  3. 树上路径：处理与树上路径相关的问题

例题

  1. 倍增法求LCA：模板题，给定树和查询，求每对节点的LCA
  2. 树上距离：多次查询树上两点距离
  3. 树上路径点权之和：查询树上两点路径上所有点的权值之和

五、树上差分

点差分

操作：对路径\((u, v)\)上所有点的权值加\(k\)

方法：

  1. \(diff[u] += k\)
  2. \(diff[v] += k\)
  3. \(diff[lca(u, v)] -= k\)
  4. \(diff[father(lca(u, v))] -= k\)

边差分

操作：对路径\((u, v)\)上所有边的权值加\(k\)

方法：

  1. \(diff[u] += k\)
  2. \(diff[v] += k\)
  3. \(diff[lca(u, v)] -= 2k\)

例题

  1. 运输计划：选择一条边变为0，使得所有运输路径的最大值最小
  2. 天天爱跑步：每个点有一个观察时间，求每个点能看到多少玩家
  3. 雨天的尾巴：对树上路径的所有点发放不同种类的救济粮，求每个节点最多的救济粮种类

六、树形动态规划

基本类型

  1. 普通树形DP：在树上进行DP，通常后序遍历
  2. 树上背包：在树上进行分组背包或依赖背包
  3. 换根DP：通过两次DFS，计算以每个节点为根时的信息

常见模型

  1. 节点选择问题：选择一些节点，满足某些约束，最大化/最小化权值和
  2. 树上路径问题：求满足条件的路径数量或权值
  3. 子树统计问题：统计子树中满足条件的节点或路径

状态设计技巧

  1. \(dp[u][0/1]\)：表示选或不选节点\(u\)
  2. \(dp[u][j]\)：表示以\(u\)为根的子树中，选择\(j\)个节点的最优解
  3. \(dp[u]\)：表示以\(u\)为根的子树的最优解

例题

  1. 没有上司的舞会：选择一些节点，使得没有直接上下级关系，最大化权值和
  2. 二叉苹果树：保留\(Q\)条边，使得苹果数最多
  3. 战略游戏：选择最少的士兵覆盖所有边
  4. 计算机：求每个节点到其他节点的最远距离

七、树链剖分

基本概念

树链剖分：将树划分成若干条链，使得树上的操作可以转化为序列上的操作

常用术语

  1. 重儿子：子树大小最大的儿子
  2. 轻儿子：非重儿子的儿子
  3. 重链：由重儿子连接形成的链
  4. 轻边：连接两个不同重链的边

剖分过程

  1. 第一次DFS：计算子树大小、深度、父节点、重儿子
  2. 第二次DFS：分配DFS序，连接重链

应用

  1. 路径修改/查询：将路径拆分成\(O(\log n)\)条链
  2. 子树修改/查询：子树对应DFS序上的连续区间
  3. LCA查询：通过跳重链快速求LCA

例题

  1. 树链剖分模板：路径修改、路径查询、子树修改、子树查询
  2. 树上操作：支持多种操作（加、乘、赋值）的树链剖分
  3. 染色：路径染色，查询路径上颜色段数量

八、树上启发式合并

基本思想

启发式合并：将小子树的信息合并到大子树中，减少时间复杂度

时间复杂度

  • 每个节点被合并的次数为\(O(\log n)\)
  • 总时间复杂度为\(O(n \log n)\)

算法流程

  1. 先遍历轻儿子，计算答案但不保留信息
  2. 再遍历重儿子，计算答案并保留信息
  3. 最后遍历轻儿子，将信息合并到重儿子中

应用场景

  1. 子树颜色统计：统计每个子树中不同颜色的数量
  2. 子树众数：求每个子树中出现次数最多的颜色
  3. 子树查询：离线回答子树相关的查询

例题

  1. 树上数颜色：求每个子树中不同颜色的数量
  2. Lomsat gelral：对于每个子树，求出现次数最多的颜色编号和
  3. Tree and Queries：查询子树中出现次数≥\(k\)的颜色数量

九、基环树

基本概念

基环树：在树的基础上增加一条边，形成恰好一个环

性质：

  1. \(n\)个节点，\(n\)条边
  2. 有且仅有一个环
  3. 去掉环上任意一条边就变成一棵树

处理方法

  1. 找环：使用DFS或拓扑排序找到环
  2. 破环成树：删除环上一条边，转化为树问题
  3. 环上DP：在环上进行动态规划

常见问题

  1. 基环树直径：可能经过环或不经过环
  2. 基环树DP：类似于没有上司的舞会，但需要处理环
  3. 基环树最短路：环上路径的选择

例题

  1. 岛屿：求基环树森林中每棵基环树的直径之和
  2. 骑士：基环树上的最大权独立集
  3. 旅行：在基环树上找字典序最小的DFS序

十、树的计数与生成树

树的计数

  1. Cayley公式：\(n\)个节点的无标号树有\(n^{n-2}\)棵
  2. Prüfer序列：建立树与序列的一一对应
  3. 有根树计数：考虑根节点的选择

生成树

  1. 最小生成树：
    • Kruskal算法
    • Prim算法
  2. 次小生成树：枚举不在最小生成树中的边
  3. 最小生成树计数：使用Matrix-Tree定理

树哈希

用途：判断两棵树是否同构

方法：

  1. 有根树哈希：递归计算子树哈希值
  2. 无根树哈希：以重心为根进行哈希
  3. 常用哈希函数：\(hash(u) = 1 + \sum hash(v) \times prime(size(v))\)

例题

  1. 树的同构：判断多棵树是否同构
  2. 最小生成树计数：求最小生成树的数量
  3. 严格次小生成树：求权值和严格大于最小生成树的生成树
  4. Prüfer序列：实现树与Prüfer序列的相互转换

十一、其他树相关问题

虚树

应用场景：处理树上多次询问，每次询问只涉及少量关键节点

构建方法：

  1. 将关键节点按DFS序排序
  2. 使用栈维护右链
  3. 依次插入节点，维护LCA

点分治

应用场景：处理树上路径统计问题

算法流程：

  1. 找到当前子树的重心
  2. 计算经过重心的路径
  3. 递归处理子树

边分治

类似于点分治，但每次选择一条边将树分成两部分

笛卡尔树

定义：满足堆性质的二叉搜索树

应用：

  1. 区间最值查询
  2. 直方图最大矩形

例题

  1. 消耗战：虚树模板题，多次询问切断关键点到根的最小代价
  2. 树点涂色：点分治处理路径颜色问题
  3. 重建计划：点分治+单调队列求长度在\([L, R]\)之间的最大权路径

总结

树论是OI竞赛中的重要部分，涵盖了基础遍历、高级数据结构、动态规划、图论等多个方面。掌握树论需要：

  1. 理解基础概念：树的遍历、性质、序列表示
  2. 掌握核心算法：LCA、树形DP、树链剖分、树上启发式合并
  3. 熟练应用技巧：树上差分、点分治、虚树
  4. 解决经典问题：树的直径、重心、基环树、生成树

建议的学习路径：

  1. 从基础遍历和DFS序开始
  2. 学习LCA和树上差分
  3. 掌握树形DP和树链剖分
  4. 学习高级技巧如点分治、虚树
  5. 大量练习，积累经验

每个算法都有其适用场景，需要根据具体问题选择合适的方法。在比赛中，树论问题往往综合多个知识点，需要灵活运用所学知识。

posted @ 2026-01-12 10:56  Chestify  阅读(11)  评论(0)    收藏  举报