图论

一、图的存储与遍历

1.1 图的存储方式

1. 邻接矩阵

   • 适合稠密图，空间复杂度 \(O(n^2)\)
   • 快速判断两节点是否相邻

2. 邻接表

   • 适合稀疏图，空间复杂度 \(O(n+m)\)
   • 遍历邻居效率高

3. 链式前向星

   • 静态存储，性能优秀
   • 常用于竞赛编程

1.2 图的遍历

1. 深度优先搜索（DFS）

   • 应用：连通分量、拓扑排序、回溯

2. 广度优先搜索（BFS）

   • 应用：最短路径（无权图）、层次遍历

典型例题：

1. 图的连通分量计数

   • 描述：给定无向图，求连通分量的数量
   • 解法：DFS/BFS遍历标记

2. 二分图判定

   • 描述：判断图是否为二分图（二着色）
   • 解法：DFS/BFS染色法

二、最短路问题

2.1 单源最短路

1. Dijkstra算法

   • 适用条件：非负权边
   • 时间复杂度：\(O((n+m)\log n)\)（优先队列优化）
   • 例题：从源点到所有点的最短距离

2. Bellman-Ford算法

   • 适用条件：含负权边，检测负环
   • 时间复杂度：\(O(nm)\)
   • 例题：有限制步数的最短路、负环检测

3. SPFA算法

   • Bellman-Ford的队列优化
   • 平均复杂度较好，但最坏仍为 \(O(nm)\)
   • 可检测负环

2.2 多源最短路

1. Floyd-Warshall算法
   • 求所有点对间的最短路
   • 时间复杂度：\(O(n^3)\)
   • 空间复杂度：\(O(n^2)\)
   • 应用：传递闭包、最小环

2.3 特殊最短路

1. 次短路

   • 求严格小于最短路长度的最短路径
   • 解法：Dijkstra扩展状态

2. K短路

   • 求第 \(K\) 短的路径
   • 解法：A*算法、可持久化左偏树

典型例题：

1. 热浪（模板题）

   • 描述：求两点间最短距离
   • 解法：Dijkstra

2. 负环检测

   • 描述：判断图中是否存在负环
   • 解法：Bellman-Ford/SPFA

3. 最小环问题

   • 描述：求图中最小长度的环
   • 解法：Floyd改进

三、最小生成树

3.1 算法分类

1. Kruskal算法

   • 基于并查集
   • 适合稀疏图
   • 时间复杂度：\(O(m \log m)\)

2. Prim算法

   • 类似Dijkstra
   • 适合稠密图
   • 时间复杂度：\(O(n^2)\) 或 \(O((n+m)\log n)\)

3.2 扩展问题

1. 次小生成树

   • 求权值第二小的生成树
   • 解法：枚举不在MST中的边替换

2. 最小生成树计数

   • 统计最小生成树的数量
   • 解法：Matrix-Tree定理

3. 最小瓶颈生成树

   • 最大边权最小的生成树
   • 性质：最小生成树也是最小瓶颈生成树

典型例题：

1. 修建公路

   • 描述：连接所有城市的最小成本
   • 解法：Kruskal或Prim

2. 北极通讯网络

   • 描述：卫星可连通部分节点，求最小传输距离
   • 解法：Kruskal，当连通块数 \(\leq\) 卫星数时停止

四、拓扑排序与关键路径

4.1 拓扑排序

1. Kahn算法

   • 基于入度的BFS方法
   • 可检测环

2. DFS方法

   • 基于出栈顺序
   • 也可检测环

4.2 关键路径（AOE网）

1. 最早发生时间 \(ve\)

   • 正向拓扑排序计算

2. 最晚发生时间 \(vl\)

   • 反向拓扑排序计算

3. 关键活动

   • 时差为 \(0\) 的活动

典型例题：

1. 课程安排

   • 描述：判断课程安排是否合理（无环）
   • 解法：拓扑排序

2. 工程完成时间

   • 描述：计算工程最短完成时间
   • 解法：关键路径算法

五、连通性问题

5.1 强连通分量（有向图）

1. Tarjan算法

   • 一次DFS完成
   • 可同时求割点、桥

2. Kosaraju算法

   • 两次DFS
   • 思路直观

5.2 双连通分量（无向图）

1. 割点

   • 移除后使图不连通的点
   • 判定：\(low[v] \geq dfn[u]\)

2. 桥（割边）

   • 移除后使图不连通的边
   • 判定：\(low[v] > dfn[u]\)

3. 点双连通分量

   • 没有割点的极大子图

4. 边双连通分量

   • 没有桥的极大子图

典型例题：

1. 受欢迎的牛

   • 描述：求被所有牛崇拜的牛的数量
   • 解法：强连通分量缩点

2. 网络关键节点

   • 描述：找出网络中的割点
   • 解法：Tarjan求割点

六、二分图匹配

6.1 基本概念

1. 二分图判定

   • 二染色法

2. 匹配

   • 边集，任意两边无公共顶点

3. 最大匹配

   • 包含边数最多的匹配

6.2 算法

1. 匈牙利算法

   • 时间复杂度：\(O(nm)\)
   • 实现简单

2. Hopcroft-Karp算法

   • 时间复杂度：\(O(\sqrt{n} m)\)
   • 适合大规模图

6.3 扩展问题

1. 最小点覆盖

   • König定理：最小点覆盖数 \(=\) 最大匹配数

2. 最大独立集

   • 顶点数 \(-\) 最大匹配数

3. 最小路径覆盖

   • 有向无环图：顶点数 \(-\) 最大匹配数

4. 带权匹配

   • KM算法（Kuhn-Munkres）

典型例题：

1. 棋盘覆盖

   • 描述：用 \(1 \times 2\) 骨牌覆盖棋盘
   • 解法：将棋盘黑白染色，转化为二分图匹配

2. 机器调度

   • 描述：任务分配使完成时间最短
   • 解法：二分图匹配或带权匹配

七、网络流

7.1 最大流

1. 增广路算法

   • Ford-Fulkerson方法
   • Edmonds-Karp算法：\(O(nm^2)\)
   • Dinic算法：\(O(n^2m)\)，实际更快

2. ISAP算法

   • 改进的预流推进算法
   • 性能优秀

7.2 最小割

1. 最大流最小割定理

   • 最大流值 \(=\) 最小割容量

2. 最小割应用

   • 图的分割、项目选择

7.3 费用流

1. 最小费用最大流

   • SPFA找最短增广路
   • 或使用Primal-Dual算法

2. 最大费用最大流

   • 权值取负转化为最小费用

典型例题：

1. 排水系统

   • 描述：求从源点到汇点的最大流量
   • 解法：最大流算法

2. 运输问题

   • 描述：考虑运输成本的最小费用最大流
   • 解法：最小费用最大流

3. 二分图多重匹配

   • 描述：点有容量限制的匹配
   • 解法：转化为网络流

八、欧拉回路与哈密顿回路

8.1 欧拉回路/欧拉路径

1. 判定条件

   • 欧拉回路：所有点度为偶数（无向图）/入度\(=\)出度（有向图）
   • 欧拉路径：\(0\)或\(2\)个点度为奇数（无向图）/起点出度\(=\)入度\(+1\)，终点入度\(=\)出度\(+1\)，其余点入度\(=\)出度（有向图）

2. Hierholzer算法

   • DFS构造欧拉回路
   • 时间复杂度：\(O(m)\)

8.2 哈密顿回路

1. 判定

   • 一般图是NP完全问题
   • 竞赛中常用状态压缩DP

2. 状态压缩DP解法

   • 时间复杂度：\(O(n^2 \cdot 2^n)\)

典型例题：

1. 一笔画问题

   • 描述：判断能否一笔画并输出路径
   • 解法：欧拉路径判定与Hierholzer算法

2. 旅行商问题（TSP）

   • 描述：访问所有城市一次后返回起点
   • 解法：状态压缩DP

九、2-SAT问题

9.1 问题定义

• 给定 \(n\) 个布尔变量和 \(m\) 个形如 \((x \lor y)\) 的约束，求满足所有约束的赋值

9.2 解法

1. 图论建模

   • 每个变量 \(x\) 拆为两个点：\(x\)（真）和 \(\lnot x\)（假）
   • 约束 \((x \lor y)\) 转化为有向边：\(\lnot x \to y\) 和 \(\lnot y \to x\)

2. 强连通分量

   • 如果 \(x\) 和 \(\lnot x\) 在同一强连通分量，无解
   • 否则，拓扑序大的赋值为真

典型例题：

1. 婚礼座位安排

   • 描述：夫妻不能相邻坐，有额外矛盾限制
   • 解法：转化为2-SAT问题

2. 逻辑电路

   • 描述：给定逻辑门和输入输出关系，判断是否可满足
   • 解法：2-SAT建模

十、树上问题

10.1 基础算法

1. 最近公共祖先（LCA）

   • 倍增法：预处理 \(O(n \log n)\)，查询 \(O(\log n)\)
   • Tarjan离线算法：\(O(n+q)\)
   • 树链剖分：预处理 \(O(n)\)，查询 \(O(\log n)\)

2. 树链剖分

   • 将树分解为链，用线段树维护
   • 应用：路径查询/修改、子树查询/修改

3. 树的直径

   • 两次DFS/BFS
   • 树形DP

4. 树的重心

   • 删除后最大子树最小的点
   • 应用：树分治

10.2 树形DP

1. 没有上司的舞会

   • 最大独立集问题

2. 树的最小支配集/覆盖集

   • 状态机DP

10.3 树上差分

1. 点差分

   • 路径上所有点加值

2. 边差分

   • 路径上所有边加值

典型例题：

1. 树上距离查询

   • 描述：多次查询两点间距离
   • 解法：LCA

2. 树上路径修改与查询

   • 描述：对树上路径进行加值操作并查询
   • 解法：树链剖分+线段树

3. 树的中心

   • 描述：找到距离所有点最远距离最小的点
   • 解法：树的直径相关

十一、进阶图论

11.1 平面图

1. 欧拉公式

   • \(V - E + F = 2\)（连通平面图）

2. 对偶图

   • 应用：平面图最小割转最短路

11.2 支配树

1. 定义

   • 节点 \(u\) 支配 \(v\)：从起点到 \(v\) 的所有路径都经过 \(u\)

2. Lengauer-Tarjan算法

   • 构建支配树

11.3 图的匹配扩展

1. 一般图最大匹配

   • 带花树算法（Blossom Algorithm）

2. 稳定婚姻问题

   • Gale-Shapley算法

十二、图论建模技巧

12.1 常见建模方法

1. 点权转边权

   • 拆点：将点权转化为边权

2. 分层图

   • 处理有"次数限制"的问题
   • 如：最多使用 \(k\) 次免费机会的最短路

3. 状态压缩

   • 将状态信息压缩到节点中
   • 如：带限制的最短路

4. 时间分层

   • 处理与时间相关的问题

典型例题：

1. 飞行路线

   • 描述：有 \(k\) 次免费机会的最短路
   • 解法：分层图

2. 道路升级

   • 描述：升级某些边使图连通的最小成本
   • 解法：最小生成树变体

学习建议

1. 基础先行：掌握DFS、BFS、最短路、最小生成树等基础算法
2. 模板练习：每个算法类型熟练2-3道模板题
3. 建模训练：重点练习将实际问题转化为图论模型
4. 综合应用：尝试NOI/ACM真题，提升综合解题能力

推荐学习路径

1. 图的遍历 → 最短路 → 最小生成树
2. 拓扑排序 → 连通性
3. 二分图 → 网络流
4. 树上问题
5. 进阶图论

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注：图论问题关键在于建模能力，要培养将实际问题抽象为图的能力。多练习经典模型，掌握每种算法的适用场景和复杂度。竞赛中，图论问题往往综合性较强，需要灵活运用多种算法和技巧。