图兰定理

\(n\) 个点的满足不包含 \(K_{r+1}\) 的边数最多的图的一种构造是 \(n\) 个点的完全 \(r\) 分图 \(T_{n,r}\)。

考虑极值图论中一种常见的归纳法：取出度数极值点（或者其邻域）向下归纳。

证明：对于一个包含 \(n\) 个点的不包含 \(K_{r+1}\) 的图 \(G\)，取出其度数最大的点 \(x\)，记其邻域为 \(N(x)\)。显然有 \(N(x)\) 中不包含 \(K_r\)，考察剩下的边是怎么构成的，你发现是由 \(G \backslash N(x)\) 内的边，\(G \backslash N(x)\) 与 \(N(x)\) 之间的边构成的。

还是考察极值图论中常见的手法：用度数刻画边数，考虑直接用 \(|V(G \backslash N(x))| \times deg_G(x)\) 刻画剩下的边，虽然会导致算重但是你都在往大了算了所以没事，因此有 \(|E(G)| \leq |V(G \backslash N(x))| \times deg_G(x) + |V(T_{|N(X)|,r-1})|\)。

注意到 \(T_{n,r}\) 的构造刚好使得上述式子取等，所以归纳即可证明定理成立。