组合意义小记

下面用组合意义证明 \(\sum_{i=0}^m i{2 \times n + m-i-1 \choose 2 \times n-1} = {2 \times n + m \choose 2 \times n + 1}\)。

式子的组合意义为：有 \(2 \times n + m -1\) 个球排成一列，选出一个长度为 \(i\) 的后缀丢掉，剩下的球中选出 \(2 \times n - 1\) 个并以 \(i\) 的系数贡献到答案中。

先将 \(i\) 的贡献摊到后缀的每个球上，组合意义改写为：选出后缀第 \(i\) 个球，将其以及后面的所有球丢掉，然后再丢掉一个任意长度（可以为空的后缀），再选出 \(2 \times n - 1\) 个球。

也就是枚举 \(i,j\) 满足 \(0 \leq i \leq j\)，丢掉长度为 \(j\) 的后缀，并给答案加上 \(2 \times n + m - 1 - j \choose 2 \times n - 1\)。

尝试把组合数用基于插板的组合意义写出来，整个式子的组合意义为：枚举 \(i,j\) 满足 \(0 \leq i \leq j\)，丢掉长度为 \(j\) 的后缀，然后把 \(m-1-j\) 个球排成一列，将其划分为 \(2 \times n\) 段。

算上之前枚举的 \(i,j\)，组合意义可以直接写成 \(m-1\) 个球排成一列，将其划分为 \(2 \times n + 2\) 段，故方案数就是 \({2 \times n + m \choose 2 \times n + 1}\)。