数学问题小记 2

题面略去

引理 1，\(p_1 < p_2 < ... < p_k\) 如果 \(p_1,p_2,...,p_k\) 构成等差数列，则 \(a_{p_1},a_{p_2},...,a_{p_k}\) 构成等差数列

不妨 \(a_i = C + x \times i\)，\(a_{p_i} - a_{p_{i-1}} = x \times (p_i - p_{i-1})\)。

引理 2 若 \(i = 4 \times l+1,j = 4 \times r+2,l \leq r\)，则存在合法划分方案

此时取出 \(i,j\) 后原序列被分为 \([1,4 \times l],[4 \times l+2,4 \times r+1],[4 \times r+3,4 \times m+2]\)，由于每一段长度都是 \(4\) 的倍数，相邻 \(4\) 个划分到一组即可。

思考 1

第二小问中我们给出了 \(\{1,4,7,10\},\{3,6,9,12\},\{5,8,11,14\}\) 的构造刚好挖去了 \(2,13\)，能否相仿的构造？

发现我们构造的形如若干个公差相同的等差数列，并且只用引理 2 中的构造就可以知道大约 \(\frac{1}{16}\) 的方案必定有解，只需要再构造一种 \(i,j\) 模 \(4\) 意义下不同的策略就差不多了。

我们考虑构造一个某个区间内挖去两个数的方案，并将其平移到我们需要的位置。

不妨先构造第一个等差数列 \(\{1,k+1,2 \times k+1,3 \times k+1\}\)。注意这里 \(k > 1\)。

仿照第二小问的证明，我们把 \(2\) 的位置空出来。

接下来需要把 \([2,k]\) 内填满，于是对于 \(i \in [2,k]\) 构造 \(\{i,i+k,i+2 \times k,i+3 \times k\}\)。

发现 \(k+2\) 还没填，按照第二问的构造我们需要将其填上，构造 \(\{k+2,2 \times k+2,3 \times k+2,4 \times k+2\}\)。

此时我们发现，刚好填了 \([1,4 \times k+2]\) 并将 \(2,4 \times k+1\) 两个位置空了出来。

引理 3 若 \(i = 4 \times l+2,j = 4 \times r+1,l + 1 < r\)，则存在合法划分方案。

对于 \([1,4 \times l],[4 \times r+3,4 \times m+2]\) 的部分，还是相邻 \(4\) 个一组。

对于 \([4 \times l+1,4 \times r+2]\) 的部分，直接将思考 1 中的构造平移到此处即可，由于等差数列全部加上同一个值后仍是等差数列，而且 \(r-l = k >1\)，所以此处构造合法。

两种构造一共可以覆盖 \(\sum_{l=0}^{m} \sum_{r=l}^{m} + \sum_{l=0}^m \sum_{r = l+2}^m = m^2 + m + 1\) 种 \(i,j\) 的选取情况，因此 \(P_{m} \geq \frac{m^2+m+1}{8 \times m^2 + 6 \times m + 1} > \frac{1}{8}\)。