P10655 [ROI 2017] 反物质 (Day 2) 题解

P10655 [ROI 2017] 反物质 (Day 2) 题解

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知识点

动态规划，记忆化搜索，单调栈，单调队列，决策单调性。

分析

我们考虑设 \(f_i\) 表示质量为 \(i\) 时，最坏情况下利润最大值，然后正序 DP，发现不太好做。

对于这类「最坏至少」问题，我们可以考虑用记忆化搜索的思路来转移，然后在这题里就会得到倒序 DP 的想法。

于是有了：设 \(f_i\) 表示质量为 \(i\) 时，之后搜索下去最坏至少有多少利润。

\[\begin{aligned} f_i &= \max_{(l,r,c)} [i+r \le m] \min_{k=l}^{r} (f_{i+k} + 10^9k - c) \\ f_i + 10^9i &= \max_{(l,r,c)} [i+r \le m] \min_{k=l}^{r} [f_{i+k} + 10^9(i+k) - c] \\ \end{aligned} \]

设 \(f'_i = f_i +10^9i\)，式子就可以化简为：

\[\begin{aligned} f'_i &= \max_{(l,r,c)} [i+r \le m] \min_{k=l}^{r} [f'_{i+k} - c] \\ \end{aligned} \]

而初始状态就是 \(f'_i = [i\le m]10^9i\)。

实现

单调队列

于是我们单调队列就有了时空皆是 \(O(nm)\) 的做法。

单调栈

如果把空间复杂度限制在 \(O(n+m)\) 以内呢？

其实发现我们的单调队列所对应的序列都是重复的，将其中某个元素 \(i\) 从单调队列中踢出的另一个元素 \(pre_i\) 也是相同的。

我们可以在 DP 的同时同单调栈处理出 \(pre_i\)，然后用 \(n\) 个值记录合法最值位置就可以模拟 \(n\) 个单调队列。

时间复杂度同样是 \(O(nm)\) 的，但是空间复杂度骤降为 \(O(n+m)\)。

代码

单调队列

#define Plus_Cat "anti"
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LINF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define VAL 1000000000ll
#define ll long long
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(int)(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(int)(b);--i)
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i=(g).h[(x)],y=(g)[(i)].v;~i;y=(g)[(i=(g)[i].nxt)>0?i:0].v)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N(100+10),M(2e6+10);

namespace IOEcat {
    //Fast IO
} using namespace IOEcat;

int n,m;
int l[N],r[N],c[N],cur[N];
ll ans;
ll f[M];
deque<int> DQ[N];

signed main() {
#ifdef Plus_Cat
	freopen(Plus_Cat ".in","r",stdin),freopen(Plus_Cat ".out","w",stdout);
#endif
	I(n,m);
	FOR(i,1,n)I(l[i],r[i],c[i]),cur[i]=m;
	DOR(i,m,0) {
		f[i]=VAL*i;
		FOR(j,1,n)if(i+r[j]<=m) {
			deque<int> &dq(DQ[j]);
			while(cur[j]>=i+l[j]) {
				int now(cur[j]--);
				while(!dq.empty()&&f[dq.back()]>=f[now])dq.pop_back();
				dq.push_back(now);
			}
			while(dq.front()>i+r[j])dq.pop_front();
			tomax(f[i],f[dq.front()]-c[j]);
		}
	}
	O(f[0],'\n');
	return 0;
}

单调栈

#define Plus_Cat "anti"
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LINF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define VAL 1000000000ll
#define ll long long
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(int)(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(int)(b);--i)
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i=(g).h[(x)],y=(g)[(i)].v;~i;y=(g)[(i=(g)[i].nxt)>0?i:0].v)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N(100+10),M(2e6+10);

int n,m,top;
int l[N],r[N],c[N],st[M],cur[N],pre[M];
ll f[M];

signed main() {
#ifdef Plus_Cat
	freopen(Plus_Cat ".in","r",stdin),freopen(Plus_Cat ".out","w",stdout);
#endif
	cin>>n>>m;
	FOR(i,1,n)cin>>l[i]>>r[i]>>c[i],cur[i]=m+1;
	DOR(i,m,0) {
		f[i]=VAL*i;
		FOR(j,1,n) {
			tomin(cur[j],i+r[j]);
			while(pre[cur[j]]>=i+l[j])cur[j]=pre[cur[j]];
			tomax(f[i],f[cur[j]]-c[j]);
		}
		while(top&&f[st[top]]>f[i])pre[st[top--]]=i;
		st[++top]=i;
	}
	cout<<f[0]<<endl;
	return 0;
}