P8996 [CEOI 2022] Abracadabra 题解
P8996 [CEOI 2022] Abracadabra 题解
知识点
线段树，平衡树，树状数组。
分析
首先，我们可以分析一下样例。
| 洗牌次数 | 自底向上的牌堆 |
|---|---|
| \(0\) | \(7\ 5\ 2\ 9\ 10\ 8\ 4\ 3\ 6\ 1\) |
| \(1\) | \(7\ 5\ 2\ 8\ 4\ 3\ 6\ 1\ 9\ 10\) |
| \(2\) | \(3\ 6\ 1\ 7\ 5\ 2\ 8\ 4\ 9\ 10\) |
| \(3\) | \(2\ 3\ 6\ 1\ 7\ 5\ 8\ 4\ 9\ 10\) |
分段
我们将第 \(0\) 次与第 \(1\) 次作比较，发现两次都有几段连续的数：
| 洗牌次数 | 自底向上的牌堆 |
|---|---|
| \(0\) | \(7\ 5\ 2\mid 9\ 10\mid 8\ 4\ 3\ 6\ 1\) |
| \(1\) | \(7\ 5\ 2\mid 8\ 4\ 3\ 6\ 1\mid 9\ 10\) |
我们可以先凭最表面的分段，就会分成上面两种，发现第 \(1\) 次就是第 \(0\) 次分段后按第一个数排序。
而每段又有什么规律呢？好像有两段第一个数都是最大的，而另一段是 \(9\ 10\)，似乎不符合规律，但是我们又可以把上面的分成：
| 洗牌次数 | 自底向上的牌堆 |
|---|---|
| \(0\) | \(7\ 5\ 2\ \mid 9 \mid 10\mid 8\ 4\ 3\ 6\ 1\) |
| \(1\) | \(7\ 5\ 2\mid 8\ 4\ 3\ 6\ 1\mid 9\mid 10\) |
这下就符合规律了。
拆段
再考虑 \(1\) 次时到第 \(2\) 次，我们按照上面的方式来分段：
| 洗牌次数 | 自底向上的牌堆 |
|---|---|
| \(1\) | \(7\ 5\ 2\mid 8\ 4\mid 3\ 6\ 1\mid 9\mid 10\) |
| \(2\) | \(3\ 6\ 1\mid 7\ 5\ 2\mid 8\ 4\mid 9\mid 10\) |
这好像就是把上面横跨中间的分开就好了，但是我们换一个样例看一下：
| 洗牌次数 | 自底向上的牌堆 |
|---|---|
| \(0\) | $9 \ 7\ 5\ 2\ 10 \ 8 \ 4\ 3\ 6\ 1\ $ |
| \(1\) | \(9 \ 7\ 5\ 2\ 8\ 4\ 3\ 6\ 1\ 10\) |
| \(2\) | \(3\ 6\ 1\ 4\ 8\ 9 \ 7\ 5\ 2\ 10\) |
-
\(0 \to 1\)：
洗牌次数 自底向上的牌堆 \(0\) $9 \ 7\ 5\ 2\mid 10\mid 8 \ 4\ 3\ 6\ 1\ $ \(1\) \(9 \ 7\ 5\ 2\mid 8\ 4\ 3\ 6\ 1\mid 10\) -
\(1 \to 2\)：
洗牌次数 自底向上的牌堆 \(1\) \(9 \ 7\ 5\ 2\mid 8\mid 4\mid 3\ 6\ 1\mid 10\) \(2\) \(3\ 6\ 1\mid 4\mid 8\mid 9 \ 7\ 5\ 2\mid 10\)
除了分开横跨中间的部分，我们还要把分开的后面那段给按照一开始分段的方法分开，这里我们可以处理出对于每个值下一个大于它的值是多少，然后一路处理过去，均摊次数是线性的。
那么我们就可以动态模拟维护了。
实现
考虑套数据结构进行动态维护。
平衡树
最简单的思想，把区间存在平衡树中，用一些操作解决即可。
这里选用无旋 Treap，那么实现按值分裂、按大小分裂和分裂第一个节点即可。
线段树 & 树状数组
由于对每段排序是按照每段第一个值大小升序排序，而且我们只要求按大小查值，所以我们可以用权值线段树或树状数组代替，只需实现单点修改，线段树二分或树状数组倍增以及前缀和查询即可。
代码
平衡树
//#define Plus_Cat ""
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define Fi first
#define Se second
#define Pii pair<int,int>
#define uint unsigned int
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(int)(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(int)(b);--i)
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i=(g).h[(x)],y=(g)[(i)].v;~i;y=(g)[(i=(g)[i].nxt)>0?i:0].v)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N(2e5+10),Qr(1e6+10);
mt19937 rng(random_device {}());
namespace IOEcat {
//Fast IO
} using namespace IOEcat;
bool flag;
int n,Q;
int a[N],len[N],nxt[N],pos[N],ans[Qr];
vector<Pii> vec[N];
struct Treap {
int rt,tot;
struct node {
int key,cnt,siz,ls,rs;
uint blc;
node(int key=0,int cnt=0,int siz=0,int ls=0,int rs=0,uint blc=rng()):
key(key),cnt(cnt),siz(siz),ls(ls),rs(rs),blc(blc) {}
} tr[N];
node &operator [](int i) { return tr[i]; }
Treap():rt(0),tot(0) {}
#define ls(p) (tr[p].ls)
#define rs(p) (tr[p].rs)
void Init() { tr[rt=tot=1]=node(); }
int New(int key,int cnt) { return tr[++tot]=node(key,cnt,cnt),tot; }
void Up(int p) { tr[p].siz=tr[ls(p)].siz+tr[p].cnt+tr[rs(p)].siz; }
int &Merge(int &o,int p,int q) {
if(!p||!q)return o=p|q;
return (tr[p].blc<=tr[q].blc?Merge(rs(o=p),rs(p),q):Merge(ls(o=q),p,ls(q))),Up(o),o;
}
void Split_key(int &o,int &p,int key) { //[<=key] -> o,[>key] -> p
if(!p)return o=0,void();
if(key<tr[p].key)return Split_key(o,ls(p),key),Up(p);
if(key==tr[p].key)return o=p,p=rs(p),rs(o)=0,Up(o);
return o=p,Split_key(rs(o),p=rs(o),key),Up(o);
}
void Split_siz(int &o,int &p,int siz) { //[<=siz] -> o,[>siz] -> p
if(!p)return o=0,void();
if(tr[ls(p)].siz+tr[p].cnt<=siz)
return o=p,Split_siz(rs(o),p=rs(o),siz-tr[ls(p)].siz-tr[p].cnt),Up(o);
return Split_siz(o,ls(p),siz),Up(p);
}
void Split_begin(int &o,int &p) { //[begin] -> o,[otherwise] -> p
if(!p)return o=0,void();
if(ls(p))return Split_begin(o,ls(p)),Up(p);
return o=p,p=rs(p),rs(o)=0,Up(o),void();
}
int Kth(int p,int k) {
if(!p)return 0;
if(ls(p)&&k<=tr[ls(p)].siz)return Kth(ls(p),k);
if(k<=tr[ls(p)].siz+tr[p].cnt)return a[pos[tr[p].key]+k-tr[ls(p)].siz-1];
return Kth(rs(p),k-tr[ls(p)].siz-tr[p].cnt);
}
void Print(int p,int fa=-1,int sign=-1) {
if(!p)return;
Print(ls(p),p,0);
DE(p,fa,sign,tr[p].key);
Print(rs(p),p,1);
}
#undef ls
#undef rs
} trp;
signed main() {
#ifdef Plus_Cat
freopen(Plus_Cat ".in","r",stdin),freopen(Plus_Cat ".out","w",stdout);
#endif
/*DE("Input");*/
I(n,Q);
FOR(i,1,n)I(a[i]);
/*DE("Offline");*/
FOR(i,1,Q) {
int t,x;
I(t,x),t?vec[min(n,t)].push_back({x,i}),0:ans[i]=a[x];
}
/*DE("Init");*/
//len
auto Init_len=[&](int L,int R) {
int it(L);
FOR(i,L+1,R)if(a[i]>a[it])len[a[it]]=i-it,it=i;
len[a[it]]=R-it+1;
};
Init_len(1,n>>1),Init_len((n>>1)+1,n);
//Treap
trp.Init();
FOR(i,1,n)if(len[i])trp.Merge(trp.rt,trp.rt,trp.New(i,len[i]));
//nxt
set<int> st;
DOR(i,n,1) {
auto it(st.upper_bound(a[i]));
nxt[a[i]]=(it==st.end()?n+1:*it),st.insert(a[i]);
while(!st.empty()&&*st.begin()<a[i])st.erase(st.begin());
}
//pos
FOR(i,1,n)pos[a[i]]=i;
pos[n+1]=n+1;
/*DE("Solve");*/
FOR(i,1,n) {
for(const Pii &p:vec[i])ans[p.Se]=trp.Kth(trp.rt,p.Fi);
if(flag)continue;
int l(0),mid(0),r(trp.rt);
trp.Split_siz(l,r,n>>1);
if(trp[l].siz==(n>>1)&&(trp.Merge(trp.rt,l,r),flag=true))continue;
int pla(trp[trp.Split_begin(mid,r),mid].key);
trp[mid].cnt=trp[mid].siz=(n>>1)-trp[l].siz;
for(int p(a[pos[pla]+(n>>1)-trp[l].siz]); p<=n&&pos[p]<pos[pla]+len[pla]; p=nxt[p]) {
len[p]=min(pos[pla]+len[pla],pos[nxt[p]])-pos[p];
int L(0),R(l);
trp.Split_key(L,R,p),trp.Merge(l,L,trp.Merge(R,trp.New(p,len[p]),R));
}
len[pla]=trp[mid].cnt,trp.Merge(trp.rt,l,trp.Merge(r,mid,r));
}
/*DE("Output");*/
FOR(i,1,Q)O(ans[i],'\n');
return 0;
}
线段树
//#define Plus_Cat ""
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define Fi first
#define Se second
#define Pii pair<int,int>
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(int)(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(int)(b);--i)
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i=(g).h[(x)],y=(g)[(i)].v;~i;y=(g)[(i=(g)[i].nxt)>0?i:0].v)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N(2e5+10),Qr(1e6+10);
namespace IOEcat {
//Fast IO
} using namespace IOEcat;
int n,Q;
int a[N],len[N],nxt[N],pos[N],ans[Qr];
vector<Pii> vec[N];
struct SEG {
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define mid ((l+r)>>1)
int tr[N<<2];
void Up(int p) { tr[p]=tr[ls]+tr[rs]; }
void Build(int p=1,int l=1,int r=n) {
if(l==r)return tr[p]=len[l],void();
Build(ls,l,mid),Build(rs,mid+1,r),Up(p);
}
void Change(int x,int d,int p=1,int l=1,int r=n) {
if(l==r)return tr[p]=d,void();
return (x<=mid?Change(x,d,ls,l,mid):Change(x,d,rs,mid+1,r)),Up(p);
}
int Binary(int k=(n>>1),int p=1,int l=1,int r=n) {
if(l==r)return l;
if(tr[rs]>=k)return Binary(k,rs,mid+1,r);
return Binary(k-tr[rs],ls,l,mid);
}
int Sum(int L,int R,int p=1,int l=1,int r=n) {
if(L<=l&&r<=R)return tr[p];
if(R<=mid)return Sum(L,R,ls,l,mid);
if(mid<L)return Sum(L,R,rs,mid+1,r);
return Sum(L,R,ls,l,mid)+Sum(L,R,rs,mid+1,r);
}
#undef ls
#undef rs
#undef mid
} seg;
signed main() {
#ifdef Plus_Cat
freopen(Plus_Cat ".in","r",stdin),freopen(Plus_Cat ".out","w",stdout);
#endif
/*DE("Input");*/
I(n,Q);
FOR(i,1,n)I(a[i]);
FOR(i,1,Q) {
int t,x;
I(t,x),t?vec[min(n,t)].push_back({x,i}),0:ans[i]=a[x];
}
/*DE("Init");*/
//pos
FOR(i,1,n)pos[a[i]]=i;
pos[n+1]=n+1;
//left
int it(1);
FOR(i,2,n>>1)if(a[i]>a[it])len[a[it]]=i-it,it=i;
len[a[it]]=(n>>1)-it+1;
//right
it=(n>>1)+1;
FOR(i,(n>>1)+2,n)if(a[i]>a[it])len[a[it]]=i-it,it=i;
len[a[it]]=n-it+1;
//nxt
set<int> st;
DOR(i,n,1) {
nxt[a[i]]=(st.upper_bound(a[i])==st.end()?n+1:*st.upper_bound(a[i])),st.insert(a[i]);
while(!st.empty()&&*st.begin()<a[i])st.erase(st.begin());
}
//seg
seg.Build();
/*DE("Solve");*/
FOR(i,1,n) {
for(const Pii &p:vec[i]) {
int x(p.Fi),pla(seg.Binary(n-x+1));
if(pla>1)x-=seg.Sum(1,pla-1);
ans[p.Se]=a[pos[pla]+x-1];
}
int pla(seg.Binary()),sum(pla>1?seg.Sum(1,pla-1):0);
if(sum==(n>>1))continue;
for(int p(a[pos[pla]+(n>>1)-sum]); p&&p<=n&&pos[p]<pos[pla]+len[pla]; p=nxt[p])
seg.Change(p,len[p]=min(pos[pla]+len[pla],pos[nxt[p]])-pos[p]);
seg.Change(pla,len[pla]=(n>>1)-sum);
}
/*DE("Output");*/
FOR(i,1,Q)O(ans[i],'\n');
return 0;
}
树状数组
//#define Plus_Cat ""
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define Fi first
#define Se second
#define Pii pair<int,int>
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(int)(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(int)(b);--i)
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i=(g).h[(x)],y=(g)[(i)].v;~i;y=(g)[(i=(g)[i].nxt)>0?i:0].v)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N(2e5+10),Qr(1e6+10);
namespace IOEcat {
//Fast IO
} using namespace IOEcat;
bool flag;
int n,Q,L;
int a[N],len[N],nxt[N],pos[N],ans[Qr];
vector<Pii> vec[N];
struct BIT {
#define lowbit(i) ((i)&-(i))
int c[N];
void Build() {
FOR(i,1,n) {
c[i]+=len[i];
if(i+lowbit(i)<=n)c[i+lowbit(i)]+=c[i];
}
}
void Plus(int x,int d) { if(x>0)for(; x<=n; x+=lowbit(x))c[x]+=d; }
int Sum(int x) {
int ans(0);
if(x>0)for(; x; x&=x-1)ans+=c[x];
return ans;
}
int Binary(int k=(n>>1)+1) {
int ans(0),sum(0);
DOR(i,L,0)if((ans|1<<i)<=n&&sum+c[ans|1<<i]<k)sum+=c[ans|=1<<i];
return ans+(sum<k);
}
} bit;
namespace Sub {
int Cmain() {
/*DE("Init");*/
//pos
FOR(i,1,n)pos[a[i]]=i;
pos[n+1]=n+1;
//left
int it(1);
FOR(i,2,n>>1)if(a[i]>a[it])len[a[it]]=i-it,it=i;
len[a[it]]=(n>>1)-it+1;
//right
it=(n>>1)+1;
FOR(i,(n>>1)+2,n)if(a[i]>a[it])len[a[it]]=i-it,it=i;
len[a[it]]=n-it+1;
//nxt
set<int> st;
DOR(i,n,1) {
nxt[a[i]]=(st.upper_bound(a[i])==st.end()?n+1:*st.upper_bound(a[i])),st.insert(a[i]);
while(!st.empty()&&*st.begin()<a[i])st.erase(st.begin());
}
//bit
bit.Build();
/*DE("Solve");*/
FOR(i,1,n) {
for(const Pii &p:vec[i]) {
int x(p.Fi),pla(bit.Binary(x));
if(pla>1)x-=bit.Sum(pla-1);
ans[p.Se]=a[pos[pla]+x-1];
}
if(flag)continue;
int pla(bit.Binary()),sum(pla>1?bit.Sum(pla-1):0);
if(sum==(n>>1)&&(flag==true))continue;
for(int p(a[pos[pla]+(n>>1)-sum]); p&&p<=n&&pos[p]<pos[pla]+len[pla]; p=nxt[p])
bit.Plus(p,len[p]=min(pos[pla]+len[pla],pos[nxt[p]])-pos[p]);
int tmp(len[pla]);
bit.Plus(pla,(len[pla]=(n>>1)-sum)-tmp);
}
/*DE("Output");*/
FOR(i,1,Q)O(ans[i],'\n');
return 0;
}
}
signed main() {
#ifdef Plus_Cat
freopen(Plus_Cat ".in","r",stdin),freopen(Plus_Cat ".out","w",stdout);
#endif
I(n,Q),L=__lg(n);
FOR(i,1,n)I(a[i]);
FOR(i,1,Q) {
int t,x;
I(t,x),t?vec[min(n,t)].push_back({x,i}),0:ans[i]=a[x];
}
return Sub::Cmain();
}
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