2024“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（1） 模拟总结

2024“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（1） 模拟总结

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A 循环位移

知识点

简单 Hash。

代码

Source code - Virtual Judge (vjudge.net)。

B 星星

知识点

背包，小体积多重背包优化。

分析

本题直接 \(O(\sum nk)\) 也可以卡过，但是这不是正解。

对于小体积多重背包，我们有一个基于期望的经典优化（官方题解说的经典）：

• 打乱物品顺序，防止故意构造。
• 假设我们已经选择了其中 \(i\) 种物品，我们会期望获得 \(E = \frac{iK}N\) 个，那么我们就在这附近暴力 DP 即可。
  • 设物品的可选取数最大为 \(V\)。
  • 则更新区域大小至少为 \(B = V\sqrt{K}\)。
  • 即更新区域为 \([E-B,E+B]\)。

复杂度为 \(O(NV\sqrt{K})\)，在这题里是 \(O(\sum n\sqrt{k})\)。

代码

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C 树

知识点

线段树合并，启发式合并，树上启发式合并。

分析

\[f(u,v) = \max(A_u,A_v) \times |A_u - A_v| \\ f(u,v) = \max(A_u,A_v) \times (\max(A_u,A_v)-\min(A_u,A_v)) \\ f(u,v) = {\max(A_u,A_v)}^2 - \max(A_u,A_v)\min(A_u,A_v) \\ \]

分成两部分即可。

代码

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D 传送

知识点

线段树分治，可撤销的 DSU，带标记的 DSU。

分析

首先线段树分治是很明显的，但是我们如何记录值呢？

注意到启发式或者按秩合并的 DSU 都是树形结构，我们可以打上标记。

• 连接的时候：（\(u\) 为子节点，\(v\) 为父节点，下同）将 \(tag_u \gets tag_u - tag_v\)。
• 断开的时候：将 \(tag_u \gets tag_u + tag_v\)。

这两步就类似差分。

代码

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E 博弈

知识点

组合数学。

分析

先考虑偶数情况，发现如果平局概率为 \(p\)，那么答案就为 \(\frac{1-p}{2}\)。

推广到奇数情况，发现如果平局概率为 \(p\)，那么答案就为 \(\frac{1+p}{2}\)。

代码

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F 序列立方

知识点

计数 DP。

分析

把问题转化成：三个相同的数列，分别取出一个子序列，有多少种可能相同。

那么我们有 \(f_{i,j,k}\) 表示三个数列最后一个分别取出 \(i,j,k\)，有多少种可能相同。

则 \(f_{i,j,k} = [a_i=a_j=a_k]\sum_{a<i,b<j,c<k}f_{a,b,c}\)。

那么前缀和优化即可。

代码

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G 三元环

知识点

三维偏序，CDQ 分治，容斥，组合数学。

分析

发现图是一张竞赛图，而三个点对无非就是成环或者其中一个向另外两个连边，我们考虑容斥：用所有情况减去后者，那么三维偏序即可。

代码

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H 位运算

知识点

位运算。

分析

每一位可以拆开……

代码

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I 数位的关系

知识点

数位 DP。

分析

首先把无限制的求出来，然后把前面有限制的拼上就好。

代码

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J 众数

知识点

笛卡尔树。

分析

由于数列随机生成，且题目与区间最大值有关，可以想到笛卡尔树，只是可能有重复，不能建出树。

我们假设可以建出笛卡尔树，由于序列随机，从笛卡尔树的结构可以看出，众数大概率是区间中较大的几个值。

那么对于正解我们只要用类似笛卡尔树的做法找出前 \(K\) 的扔到堆里即可。

代码

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K 树上的 mex

知识点

线段树，二分，扫描线，DFN。

分析

考虑二分答案，二分到 \(k\) 表示：\(\operatorname{mex}\le k\) 是否有合法解，那么将值 \(< k\) 的点都收集起来更新。

考虑将路径转成二位平面上的点对 \((x,y)\)，检验的时候就变成了用值 \(<k\) 的点进行覆盖。

再考虑对值相同的点拉出来建虚树，那么每个点的贡献就是在原树上的儿子减去虚树上的儿子。

然后扫描线即可检验。

代码

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L 并

知识点

差分、前缀和，组合数，期望。

分析

我们考虑离散化，在差分统计出每一块被几个矩形覆盖 \(cnt_{i,j}\)，接着在统计被覆盖 \(i\) 次的总面积 \(sum_i\)。

那么对于 \(k\)，答案就为：

\[\sum_{t=1} (1-\frac{n-t \choose k}{n \choose k})sum_t \\ \]

代码

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