二维莫队复杂度分析及块长计算

二维莫队复杂度分析及块长计算

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分析

设一个矩阵长 \(N\)，宽 \(M\)，题目询问次数为 \(Q\)，块长 \(Bn\)，块宽 \(Bm\)，指针（矩形端点坐标）为 \(x_a,y_a,x_b,y_b\)。

那么，\(x_a,x_b\) 最大更新次数为：\(Bn\)，单次更新时间复杂度 \(O(M)\)​，

同理，\(y_a\) 最大更新次数为：\(Bm\)，单次更新时间复杂度 \(O(N)\)。

而 \(y_b\) 对于 \((Xid_{x_a},Xid_{x_b},Yid_{y_a})\) 不变的情况下，最大更新次数 \(N\)，单次更新时间复杂度 \(O(N)\)。

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计算

可得，总时间复杂度为：

\[\begin{aligned} & Q(2 Bn \cdot M + Bm \cdot N) + (\frac{N}{Bn})^2 \cdot \frac{M}{Bm} \cdot M \cdot N \\ =\ & Q(2 Bn \cdot M + Bm \cdot N) + \frac{N^3 M^2}{Bn^2 Bm} \\ \end{aligned} \]

由于本人数学水平有限，故只讨论 \(Bn=Bm\)，\(N,M\) 同阶的情况，则算式变为：

\[\begin{aligned} & 3 Q \cdot B \cdot N + \frac{N^5}{B^3} \\ \end{aligned} \]

考虑求导：

设 \(f(B)= 3 Q \cdot B \cdot N + \frac{N^5}{B^3}\)， \(f'(B) = 3 Q \cdot N - 3 \frac{N^5}{B^4}\)，则极值点 \(B_0 = N \cdot Q^{-\frac{1}{4}}\)。

所以块长取 \(B_0\) 时，最小时间复杂度为 \(4 N^2 \cdot Q^{\frac{3}{4}}\)，即 \(O(N^2 \cdot Q^{\frac{3}{4}})\)。

加入排序，总时间复杂度为 \(O(N^2 \cdot Q^{\frac{3}{4}} + Q\log_2{Q})\)。

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启发

这种数学推导要自己试着算一下，这样后面类似的也就不会有问题了。

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注

这篇文章本来被我发在 CSDN 上，结果它神不知鬼不觉给我弄成 VIP 了，所以我就又发在 CNBLOG 上了。