2025-01-06「AHOI#HNOI 2017」（Partial）

2025-01-06「AHOI#HNOI 2017」（Partial）

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A 单旋

知识点

线段树，set。

分析

发现题目只要求单旋最大值和最小值，然后我们可以模拟一下，那么我们以最小值为例。

1. 插入一个值：

   它的父节点就是它的前驱后继（没有就不用算在内）中深度较大的那个，连接上即可。

2. 单旋最小值：

   • 它的右子树：会接到父节点上，深度不变。
   • 不在它子树内的点：深度加一。
   • 自己：变为根。

   然后它自己、它的父节点、右子节点和根的一些连接关系需要改变。

3. 再看单旋删除最小值：

   • 先进行单旋最小值，然后把根节点删除，再让其他结点深度全部减一。

   再把自己和根节点的连接关系处理一下即可。

那么我们发现其实我们只要维护好连接关系，然后就可以用区间操作来维护全树所有的深度。

可以用 set 配合树状数组实现，也可以用线段树。

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B 影魔

知识点

扫描线，线段树，树状数组。

分析

我们尝试枚举一个数作为点对 \((i,j)\) 中间的最大值，那么用单调栈处理出每个点左、右第一个比它大的点，分别记为 \(L_i,R_i\)。

此时我们就可以得到三种有贡献的点对：

1. \((L_i,R_i)\)，权值为 \(p_1\)；
2. \((l,R_i-1),l \in (L_i,i)\)，权值为 \(p_2\)；
3. \((L_i+1,r),r \in (i,R_i)\)，权值为 \(p_2\)。

那么就变成一个二维平面上统计带权面积和，用带区间修改与查询操作的数据结构来做即可。

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C 礼物

知识点

FFT，NTT。

分析

假设更改的长度为 \(d\)，那么式子变为：

\[\begin{aligned} \sum (x_i + d - y_i)^2 & = \sum (x_i^2 + y_i^2 + d^2 + 2dx_i - 2dy_i - 2x_iy_i) \\ & = n d^2 + \sum(2x_i - 2y_i) d + \sum(x_i^2 + y_i^2) - 2 \sum x_i y_i \\ \end{aligned} \]

变成两个互不干扰的部分：\(n d^2 + \sum(2x_i - 2y_i) d + \sum(x_i^2 + y_i^2)\) 和 \(-2 \sum x_i y_i\)，前一个是关于 \(d\) 的一元二次函数，后面则是一个卷积。

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反思

1. 做第一题花了太长时间，而且用到的思路过于复杂，中途应该停下来思考一下。
2. 第二题没有把模型建出来，也没有把套路拿出来用。
3. 最后一题没时间来推式子，但其实很简单。