雅礼集训 2019 Day 7 Inverse 题解
雅礼集训 2019 Day 7 Inverse 题解
知识点
期望 DP，前缀和优化 DP。
分析
部分分
设 \(f_{l,r,k}\) 表示在 \(k\) 次操作后 \(a_l > a_r\) 的概率。
初始化：\(f_{l,r,0} = [a_l > a_r]\)。
枚举每个翻转区间 \([L,R]\),对于每个 DP 区间 \(\{l,r\}\)：
-
\([L,\{l,r\},R]\)：
\[f_{l,r,k} \gets 1 - f_{L+R-r,L+R-l,k-1} \] -
\(\{l,[L,r\},R]\)：
\[f_{l,r,k} \gets f_{l,L+R-r,k-1} \] -
\([L,\{l,R],r\}\)：
\[f_{l,r,k} \gets f_{L+R-l,r,k-1} \] -
\([L,R] \{l,r\}/\{l,r\} [L,R]/\{l,[L,R],r\}\)：
\[f_{l,r,k} \gets f_{l,r,k-1} \]
暴力时间复杂度：\(O(n^4 k)\)。
正解
那么对于这样下标连续的 DP，前缀和优化是比较显然的。
-
\([L,\{l,r\},R]\)：
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=r}^{n} (1 - f_{L+R-r,L+R-l}) \\ f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=r}^{n} f_{L+R-r,L+R-l} \\ f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=0}^{n-r} f_{L+R,L+R+r-l} \\ \end{aligned} \]设 \(g_{l,r} = f_{l,l+r}\)，进行转化。
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=0}^{n-r} f_{L+R,L+R+r-l} \\ f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=0}^{n-r} g_{L+R,r-l} \\ \end{aligned} \]设 \(a_{i,j} = \sum_{k=1}^i g_{k,j},A_{i,j} = \sum_{k=1}^i a_{k,j}\)。
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=0}^{n-r} g_{L+R,r-l} \\ f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - \sum_{L=1}^{l} (a_{L+(n-r),r-l}-a_{L-1,r-l}) \\ f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - \sum_{L=1}^{l} a_{L+(n-r),r-l} + \sum_{L=1}^{l}a_{L-1,r-l} \\ f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - (A_{l+(n-r),r-l} - A_{(n-r),r-l}) + (A_{l-1,r-l} - A_{0,r-l}) \\ f'_{l,r} & \gets l(n-r+1) - A_{l+(n-r),r-l} + A_{(n-r),r-l} + A_{l-1,r-l} \\ \end{aligned} \] -
\(\{l,[L,r\},R]\)：
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets \sum_{L=l+1}^{r} \sum_{R=r}^{n} f_{l,L+R-r} \\ f'_{l,r} & \gets \sum_{L=l+1}^{r} \sum_{R=0}^{n-r} f_{l,L+R} \\ \end{aligned} \]设 \(b_{i,j} = \sum_{k=i}^n f_{i,k} , B_{i,j} = \sum_{k=i}^n b_{i,k}\)。
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets \sum_{L=l+1}^{r} \sum_{R=0}^{n-r} f_{l,L+R} \\ f'_{l,r} & \gets \sum_{L=l+1}^{r} (b_{l,L} - b_{l,L+(n-r)+1}) \\ f'_{l,r} & \gets \sum_{L=l+1}^{r} b_{l,L} - \sum_{L=l+1}^{r} b_{l,L+(n-r)+1} \\ f'_{l,r} & \gets (B_{l,l+1} - B_{l,r+1}) - (B_{l,(l+1)+(n-r)+1} - B_{l,n+1}) \\ f'_{l,r} & \gets B_{l,l+1} - B_{l,r+1} - B_{l,(l+1)+(n-r)+1} \\ \end{aligned} \] -
\([L,\{l,R],r\}\)：
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=l}^{r-1} f_{L+R-l,r} \\ f'_{l,r} & \gets \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=0}^{r-l-1} f_{L+R,r} \\ \end{aligned} \]设 \(c_{i,j} = \sum_{k=1}^i f_{k,j},C_{i,j} = \sum_{k=1}^i c_{i,j}\)。
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets \sum_{L=1}^{l} \sum_{R=0}^{r-l-1} f_{L+R,r} \\ f'_{l,r} & \gets \sum_{L=1}^{l} (c_{L+(r-l-1),r} - c_{L-1,r}) \\ f'_{l,r} & \gets \sum_{L=1}^{l} c_{L+(r-l-1),r} - \sum_{L=1}^{l} c_{L-1,r} \\ f'_{l,r} & \gets (C_{r-1,r} - C_{r-l-1,r}) - C_{l-1,r} \\ f'_{l,r} & \gets C_{r-1,r} - C_{r-l-1,r} - C_{l-1,r} \\ \end{aligned} \] -
\([L,R] \{l,r\}/\{l,r\} [L,R]/\{l,[L,R],r\}\)：
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets [\frac{(l-1)l}2 + \frac{(n-r)(n-r+1)}2 + \frac{(r-l-1)(r-l)}2] f_{l,r} \\ \end{aligned} \]设 \(s_i = \frac{i(i+1)}2\)。
\[\begin{aligned} f'_{l,r} & \gets [s_{l-1} + s_{n-r} + s_{r-l-1}] f_{l,r} \\ \end{aligned} \]
优化时间复杂度：\(O(n^2 k)\)。
CODE
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(int)(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(int)(b);--i)
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i=(g).h[(x)],y=(g)[(i)].v;~i;y=(g)[i=(g)[i].nxt].v)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N(500+10),K(50+10);
namespace Modular {
#define Mod 1000000007
template<class T1,class T2>constexpr auto add(T1 a,T2 b) {
return a+b>=Mod?a+b-Mod:a+b;
}
template<class T1,class T2>constexpr auto mul(T1 a,T2 b) {
return (1ll*a*b%Mod+Mod)%Mod;
}
template<class T,class...Types>constexpr auto add(T a,Types...args) {
return add(a,add(args...));
}
template<class T,class...Types>constexpr auto mul(T a,Types...args) {
return mul(a,mul(args...));
}
template<class T1,class T2>T1 &toadd(T1 &a,T2 b) {
return a=add(a,b);
}
template<class T1,class T2>T1 &tomul(T1 &a,T2 b) {
return a=mul(a,b);
}
template<class T0,class T,class...Types>T0 &toadd(T0 &a,T b,Types...args) {
return toadd(a,b),toadd(a,args...);
}
template<class T0,class T,class...Types>T0 &tomul(T0 &a,T b,Types...args) {
return tomul(a,b),tomul(a,args...);
}
int Pow(int a,int b=Mod-2) {
int res(1);
for(a%=Mod; b; b>>=1,tomul(a,a))if(b&1)tomul(res,a);
return res;
}
} using namespace Modular;
int n,m,Inv,ans;
int a[N],s[N];
int A[N][N],B[N][N],C[N][N],f[N][N];
signed main() {
cin>>n>>m,Inv=Pow(n*(n+1)>>1);
FOR(i,1,n)cin>>a[i],s[i]=add(s[i-1],i);
FOR(l,1,n)FOR(r,l+1,n)f[l][r]=(a[l]>a[r]);
while(m--) {
FOR(j,0,n) {
FOR(i,1,n-j)A[i][j]=add(A[i-1][j],f[i][i+j]);
FOR(i,1,n-j)toadd(A[i][j],A[i-1][j]);
}
FOR(i,1,n) {
DOR(j,n,i+1)B[i][j]=add(B[i][j+1],f[i][j]);
DOR(j,n,i+1)toadd(B[i][j],B[i][j+1]);
}
FOR(j,2,n) {
FOR(i,1,j-1)C[i][j]=add(C[i-1][j],f[i][j]);
FOR(i,1,j-1)toadd(C[i][j],C[i-1][j]);
}
FOR(l,1,n)FOR(r,l+1,n) {
tomul(f[l][r],add(s[l-1],s[n-r],s[r-l-1]));
toadd(f[l][r],mul(l,n-r+1),Mod-A[l+(n-r)][r-l],A[(n-r)][r-l],A[l-1][r-l]);
toadd(f[l][r],B[l][l+1],Mod-B[l][r+1],Mod-B[l][(l+1)+(n-r)+1]);
toadd(f[l][r],C[r-1][r],Mod-C[r-l-1][r],Mod-C[l-1][r]);
tomul(f[l][r],Inv);
}
}
FOR(l,1,n)FOR(r,l+1,n)toadd(ans,f[l][r]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号