P4367 [Code+#4] Tommy 的结合 题解
P4367 [Code+#4] Tommy 的结合 题解
知识点
树形 DP（也许不是吧），带回撤的凸包，斜率优化。
题意简述
给你两棵外向树 \(V_A\) 和 \(V_B\)，每个点都有一个花费 \(t_i\)，分别选出两条以根为首位的路径 \({p_A}_1^{k_A}\) 和 \({p_B}_1^{k_B}\)，再从中选出相同数量 \(m\) 的节点 \({a}_1^m\) 和 \({b}_1^m\) 按顺序一一配对，两条路径中所有没有被选中的连续点段的花费和的平方和为 \(T\)，其权值为 \(T+\sum_{i=1}^m c_{a_i,b_i}\)。
求能够达到的最大权值。
做法分析
\(O(n^4)\)
最基础的 DP 套路：设 \(f_{u,v}\) 为在 \(V_A,V_B\) 上最后选的点分别为 \(u,v\)，所得的最大值是多少，那么可以得到转移方程：（\(Pa_u\) 代表 \(u\) 的祖先集合，\(Pa_v\) 同理。）
\[x \in Pa_u,y \in Pa_v \\
f_{u,v} = \max{\{ f_{x,y} - (t_{fa_u}-t_x)^2 - (t_{fa_v}-t_y)^2 + c_{u,v} \}} \\
\tag{1}
\]
（我们现在可以得到 7 分的高分了！！！ヾ(@▽@)ノ）
\(O(n^3)\)
考虑优化：状态割裂。
观察上式，有一部分 \(f_{x,y} - (t_{fa_v} - t_y)^2\) 会被多次重复使用，那么我们把它单提出来，开一个 \(g_{x,v}\) 来处理和存储。
\[x \in Pa_u,y \in Pa_v \\
g_{x,v} = \max{\{ f_{x,y} - (t_{fa_v} - t_y)^2 \}} \\
\begin{aligned}
f_{u,v} & = \max{\{ f_{x,y} - (t_{fa_u}-t_x)^2 - (t_{fa_v}-t_y)^2 + c_{u,v} \}} \\
f_{u,v} & = \max{\{ [f_{x,y} - (t_{fa_v}-t_y)^2] - (t_{fa_u}-t_x)^2 + c_{u,v} \}} \\
f_{u,v} & = \max{\{ g_{x,v} - (t_{fa_u}-t_x)^2 \}} + c_{u,v} \\
\end{aligned}
\tag{2}
\]
\(O(n^2 \log_2{n})\)
看到平方，我们能想到什么？斜率优化！！！不过比较麻烦的是，\(f\) 和 \(g\) 的转移式中都有平方，也就是说他们都需要斜率优化。那么接下来就开始推式子：
\[y \in Pa_v \\
\begin{aligned}
g_{x,v} & = \max{\{ f_{x,y} - (t_{fa_v} - t_y)^2 \}} \\
g_{x,v} & = \max{\{ 2 t_y t_{fa_v} + (f_{x,y} - t_y^2) \}} - t_{fa_v}^2 \\
\end{aligned}
\tag{3}
\]
\[x \in Pa_u \\
\begin{aligned}
f_{u,v} & = \max{\{ g_{x,v} - (t_{fa_u}-t_x)^2 \}} + c_{u,v} \\
f_{u,v} & = \max{\{ 2 t_x t_{fa_u} + (g_{x,v} - t_x^2) \}} - t_{fa_u}^2 + c_{u,v} \\
\end{aligned}
\tag{4}
\]
实现
现在我们有了思路，考虑如何实现。
我们先在 \(V_A\) 上 DFS，当到了一个不是 1 的节点就开始在 \(V_B\) 上 DFS 并做转移。对于斜率优化的部分，你可以考虑可持久化凸包（没试过，不过空间似乎足够），当然，由于我们是在树上操作，我们还可以用带回撤的凸包来解决。
注意
带回撤的凸包不能使用尺取（暴力插入或暴力查询），因为尺取基于的时间复杂度是均摊复杂度，而均摊复杂度不适用于带回撤一类的操作，所以我们在插入和查询的时候都必须用二分。
注： 本题数据由于过水，插入和查询都用尺取会有更快的速度，但请不要误认为那是正解。
\(O(n^2)\)（不保证正确性）
命题人在报告中写到可能可以用轻重链剖分（轻链二分，重链尺取）来优化，但我不知道怎么证明……
CODE
\(O(n^4)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(b);--i)
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i(g.h[x]),y(g[i].v);~i;y=g[i=g[i].nxt].v)
using namespace std;
constexpr int N(2.7e3+10);
int c[N][N];
ll ans;
ll f[N][N];
struct Tree {
int n;
struct node {
int t,fa,pre,dep;
vector<int> son;
} tr[N];
node &operator[](int i) {
return tr[i];
}
} A,B;
constexpr ll Pow2(const int x) {
return 1ll*x*x;
}
int main() {
scanf("%d%d",&A.n,&B.n);
FOR(i,2,A.n)scanf("%d",&A[i].t);
FOR(i,2,B.n)scanf("%d",&B[i].t);
FOR(i,2,A.n)scanf("%d",&A[i].fa),A[A[i].fa].son.push_back(i),A[i].pre=A[A[i].fa].pre+A[i].t,A[i].dep=A[A[i].fa].dep+1;
FOR(i,2,B.n)scanf("%d",&B[i].fa),B[B[i].fa].son.push_back(i),B[i].pre=B[B[i].fa].pre+B[i].t,B[i].dep=B[B[i].fa].dep+1;
FOR(i,2,A.n)FOR(j,2,B.n)scanf("%d",&c[i][j]);
RCL(f,-0x3f,f,1),f[1][1]=0;
FOR(u,1,A.n)FOR(v,1,B.n) {
for(int x(A[u].fa); x; x=A[x].fa)for(int y(B[v].fa); y; y=B[y].fa)
tomax(f[u][v],(f[x][y]-Pow2(B[B[v].fa].pre-B[y].pre))-Pow2(A[A[u].fa].pre-A[x].pre)+c[u][v]);
tomax(ans,f[u][v]);
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
\(O(n^3)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(b);--i)
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i(g.h[x]),y(g[i].v);~i;y=g[i=g[i].nxt].v)
using namespace std;
constexpr int N(2.7e3+10);
int c[N][N];
ll ans;
ll f[N][N],g[N][N];
struct Tree {
int n,idx;
int dfn[N];
struct node {
int t,fa,dl,dr;
vector<int> son;
} tr[N];
int &operator()(int i) {
return dfn[i];
}
node &operator[](int i) {
return tr[i];
}
void dfs(int u) {
dfn[tr[u].dl=++idx]=u;
for(int v:tr[u].son)dfs(v);
tr[u].dr=idx;
}
} A,B;
constexpr ll Pow2(const int x) {
return 1ll*x*x;
}
int main() {
scanf("%d%d",&A.n,&B.n);
FOR(i,2,A.n)scanf("%d",&A[i].t);
FOR(i,2,B.n)scanf("%d",&B[i].t);
FOR(i,2,A.n)scanf("%d",&A[i].fa),A[A[i].fa].son.push_back(i),A[i].t+=A[A[i].fa].t;
FOR(i,2,B.n)scanf("%d",&B[i].fa),B[B[i].fa].son.push_back(i),B[i].t+=B[B[i].fa].t;
FOR(i,2,A.n)FOR(j,2,B.n)scanf("%d",&c[i][j]);
RCL(f,-0x3f,f,1),RCL(g,-0x3f,g,1),f[1][1]=0,B.dfs(1);
FOR(i,2,B.n)g[1][i]=-1ll*B[B[i].fa].t*B[B[i].fa].t;
FOR(u,2,A.n)FOR(v,2,B.n) {
for(int x(A[u].fa); x; x=A[x].fa)tomax(f[u][v],g[x][v]-Pow2(A[A[u].fa].t-A[x].t)+c[u][v]);
FOR(i,B[v].dl+1,B[v].dr)tomax(g[u][B(i)],f[u][v]-Pow2(B[B[B(i)].fa].t-B[v].t));
tomax(ans,f[u][v]);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
\(O(n^2\log_2{n})\)
#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define FOR(i,a,b) for(int i(a);i<=(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(int i(a);i>=(b);--i)
#define RCL(a,b,c,d) memset(a,b,sizeof(c)*(d))
#define tomin(a,...) ((a)=min({(a),__VA_ARGS__}))
#define tomax(a,...) ((a)=max({(a),__VA_ARGS__}))
using namespace std;
namespace IOstream {
#define getc() getchar()
#define putc(c) putchar(c)
#define blank(c) ((c)==' '||(c)=='\n'||(c)=='\r'||(c)==(EOF))
#define isdigit(c) ('0'<=(c)&&(c)<='9')
template<class T>inline void rd(T &x) {
static bool sign(0);
static char ch(0);
for(x=0,sign=0,ch=getc(); !isdigit(ch); ch=getc())if(ch=='-')sign^=1;
for(; isdigit(ch); x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0'),ch=getc());
return x=sign?-x:x,void();
}
template<class T>inline void wr(T x,char End='\n') {
static short top(0),st[100];
x<0?putc('-'),x=-x:0,top=0;
do st[++top]=x%10,x/=10;
while(x);
for(; top; putc(st[top]^'0'),--top);
return putc(End),void();
}
#undef blank
#undef isdigit
} using namespace IOstream;
typedef __int128 Int;
constexpr int N(2.7e3+10);
constexpr ll LINF(1e14);
int c[N][N];
ll ans;
ll f[N][N];
struct Func {
int k;
ll b;
Func(int k=0,ll b=0):k(k),b(b) {}
ll y(const int x) {
return (ll)k*x+b;
}
};
struct Stack {
int top;
Func st[N];
Func &operator[](int i) {
return st[i];
}
Func Insert(const Func x) {
auto cmp=[&](Func a,Func b,Func c,Func d) {
return (Int)(a.b-b.b)*(d.k-c.k)<=(Int)(c.b-d.b)*(b.k-a.k);
};
for(int l(2),r(top),mid((l+r)>>1); l<=r; mid=(l+r)>>1)
cmp(x,st[mid-1],st[mid],st[mid-1])?top=r=mid-1:l=mid+1;
Func tmp(st[++top]);
return st[top]=x,tmp;
}
ll Bound(const int x) {
if(!top)return -LINF;
int ans(1);
auto cmp=[&](Func a,Func b) {
return (a.b-b.b)<=(Int)x*(b.k-a.k);
};
for(int l(2),r(top),mid((l+r)>>1); l<=r; mid=(l+r)>>1)
cmp(st[mid-1],st[mid])?ans=mid,l=mid+1:r=mid-1;
return st[ans].y(x);
}
} St,st[N];
struct Tree {
int n;
struct node {
int t,fa;
vector<int> son;
} tr[N];
node &operator[](int i) {
return tr[i];
}
} A,B;
void DP_B(int u,int v) {
int top(St.top);
ll g(st[v].Bound(A[A[u].fa].t<<1)-(ll)A[A[u].fa].t*A[A[u].fa].t);
tomax(ans,f[u][v]=St.Bound(B[B[v].fa].t<<1)-(ll)B[B[v].fa].t*B[B[v].fa].t+c[u][v]);
Func val(St.Insert(Func(B[v].t,g-1ll*B[v].t*B[v].t)));
for(const int &y:B[v].son)DP_B(u,y);
St[St.top]=val,St.top=top;
}
void DP_A(int u) {
if(u^1)DP_B(u,1);
vector<int> tops(B.n+1,0);
vector<Func> vals(B.n+1,Func(0,0));
FOR(v,1,B.n)tops[v]=st[v].top,vals[v]=st[v].Insert(Func(A[u].t,f[u][v]-1ll*A[u].t*A[u].t));
for(const int &x:A[u].son)DP_A(x);
FOR(v,1,B.n)st[v][st[v].top]=vals[v],st[v].top=tops[v];
tops.clear(),vals.clear();
}
int main() {
rd(A.n),rd(B.n);
FOR(i,2,A.n)rd(A[i].t);
FOR(i,2,B.n)rd(B[i].t);
FOR(i,2,A.n)rd(A[i].fa),A[A[i].fa].son.push_back(i),A[i].t+=A[A[i].fa].t;
FOR(i,2,B.n)rd(B[i].fa),B[B[i].fa].son.push_back(i),B[i].t+=B[B[i].fa].t;
FOR(i,2,A.n)FOR(j,2,B.n)rd(c[i][j]);
FOR(i,1,A.n)FOR(j,1,B.n)f[i][j]=-LINF;
f[1][1]=0,DP_A(1),wr(ans);
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号