特征方程求通项公式

特征方程求通项公式

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用途

用于求解如下形式数列的通项公式：

\[a_i = x_i,\forall i \in [1,k] \cap \mathbb{N^+} \\ b_{1} a_{n+k} + \ldots + b_{k+1} a_n = 0 , n \in \mathbb{N^+} \\ \]

这类数列的通项公式求解问题有一个名称：\(k\) 阶常系数线性递归式的求解问题。

本博客只以二阶常系数线性递归式的求解问题作为实例进行分析。

引子

特征方程求通项公式的最基础用途莫过于斐波那契数列了：

\[fib_1 = 1,fib_2 = 1 \\ fib_{n+2} = fib_{n+1} + fib_{n} , n \in \mathbb{N^+} \\ \]

分析

假设有一个等比数列：\(\{ x^n \}\)，公比为 \(x \ne 0\)，首项为 \(1\)，并且满足斐波那契数列的递推式：

\[x^{n+2} = x^{n+1} + x^{n} \\ \]

那么很容易解得：

\[x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} , x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \]

不过这明显不是斐波那契数列的通项公式，我们考虑 凑出来 验证它们的线性组合：

\[fib_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2 ^ n \]

我们只需要把 \(fib_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2 ^ n\) 这条式子代入 \(fib_1,fib_2\) 求解线性方程组即可。

最终得到：

\[fib_n = \frac{\sqrt{5}}{5}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n] \\ \]

扩展

以上展示的是特征方程求斐波那契数列通项公式，那么我们还可以扩展到其他二阶常系数线性递归式的求解问题。

设二阶常系数齐次递归式为：

\[aH_{n+2} + bH_{n+1} + cH_{n} = 0 \]

那么对应方程即为：

\[r^2 - pr - q =0 \\ \]

设其两根分别为 \(x_1,x_2\)。

那么有以下三种情况：

1. \(x_1,x_2 \notin \mathbb{R}\)：略。

2. \(x_1 \ne x_2\)：

   设 \(H_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2 ^n\)，并求解二元线性方程组即可。

3. \(x_1 = x_2\)：

   设 \(H_n = (c_1 + c_2 n) x^n\)，并求解二元线性方程组即可，其中 \(c_2n\) 是我们构造出的线性无关解。

那么经验证，这种方法是正确的，并且适用于 \(k \in \mathbb{N^+}\) 阶常系数线性递归式的求解问题。

同时，我们发现 \(k \in \mathbb{N^+}\) 阶常系数线性递归式其实就是 \(k\) 个等比数列的复合问题。

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参考资料

1. 斐波那契数列的通项公式 - 知乎 (zhihu.com)。
2. 特征根法_百度百科 (baidu.com)。