P7648 [COCI2012-2013#5] MNOGOMET 题解
P7648 [COCI2012-2013#5] MNOGOMET 题解
知识点
概率 DP，状态割裂动态规划。
分析
暴力
首先，我们可以将两个队伍转换为一张图，得到一个暴力状态：\(f_{t,ra,rb,i}\) 在第 \(t\) 秒比分为 \(ra:rb\) 时，球在第 \(i,i\in[1,2n]\) 号点上的概率。
边界条件：\(f_{0,0,0,1}=1\)。
那么方程就是：
-
对于 \(v \ne 1 \land v \ne n+1\)：
\[f_{t+1,ra,rb,v} = \sum_{(u,v) \in G} \frac{f_{t,ra,rb,u}}{N_{f_u} + N_{e_u} + 1} \] -
对于 \(v = 1\)：
\[f_{t+1,ra,rb,v} = \sum_{(u,v) \in G} \frac{f_{t,ra,rb,u}}{N_{f_u} + N_{e_u} + 1} + \sum_{(u,v) \in G \land u\in[n+1,2n]} \frac{(1-p_u)f_{t,ra,rb,u}+p_uf_{t,ra,rb-1,u}}{N_{f_u} + N_{e_u} + 1} \\ \] -
对于 \(v = n + 1\)：
\[f_{t+1,ra,rb,v} = \sum_{(u,v) \in G} \frac{f_{t,ra,rb,u}}{N_{f_u} + N_{e_u} + 1} + \sum_{(u,v) \in G \land u\in[1,n]} \frac{(1-p_u)f_{t,ra,rb,u}+p_uf_{t,ra,rb-1,u}}{N_{f_u} + N_{e_u} + 1} \\ \]
最后简单统计一下答案，可以在洛谷得到130分的低分。
正解
正解需要我们转换状态，它没法直接化简（至少我不会），所以我们要用到状态割裂。用这类技巧的 DP 题比较稀有，需要好好珍惜，这也是我写这篇题解来总结这道题的原因。
我们发现一个问题：好像在 DP 过程中，开球是 \(1\) 号队员，射门后收球的也是 \(1\) 号队员，其他的队员好像都很闲，我们是不是可以直接把两个队伍缩成两个 \(1\) 号队员，然后把除射门之外的过程另外预处理（毕竟它们都是重复的），最后再处理比分的变化？
答案是当然可以。
我们设 \(h_{0/1,t,i}\) 表示一开始球在 0/1 号队伍的 \(1\) 号球员手中，\(t\) 秒后到 \(i\) 号球员手中的概率。
现在我们处理了传球的部分，我们需要再开两个数组把他们缩成两个点以过度到比分的部分：
设 \({win/lose}_{0/1,0/1,i}\) 分别表示一开始球在 0/1 号队伍的 \(1\) 号球员，\(t\) 秒后 0/1 号队伍的球员射门进球、不进球的概率，那么就可以统计一下：
那么我们现在可以开始转换了：设 \(f_{t,ra,rb,0/1}\) 为在 \(t\) 时刻比分为 \(ra:rb\) 时，球在 0/1 队伍的 \(1\) 号球员手中的概率，方程如下：
但是转换完了之后我们发现似乎还是不太对劲，因为需要统计答案，那我们来思考一下：一个状态 \(f_{t,ra,rb,0/1}\) 对于答案的总贡献分为什么？以便统计，我们可以大致分成以下两类：
- 射门转移到其他状态 \(f_{t',ra',rb',1/0}\) 去的；
- 再也不射门，比分保持在 \(ra:rb\)。
那么我们发现，对于一个状态 \(f_{t,ra,rb,0/1}\)，我们只要计算再也不射门的情况，就可以做到完全统计，因为射门转移走的会有其他状态统计掉。
只要再开一个数组 \(none_{0/1,t}\) 表示一开始球在 0/1 号队伍的 \(1\) 号球员，后面 \(t\) 秒都不再射门的概率，方程如下：
最后浅浅统计一下答案，本题至此结束。
CODE
#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(int)(b);++i)
#define EDGE(g,i,x,y) for(int i=(g).h[(x)],y=(g)[(i)].v;(i);(i)=(g)[(i)].nxt,(y)=(g)[(i)].v)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
constexpr int N=200+10,R=10+10,T=5e2+10;
int n,r,Tim;
int d[N];
double p[N];
double none[2][T],ans[R][R];
double h[2][T][N],win[2][2][T],lose[2][2][T];
double f[T][R][R][2];
struct CFS{
int tot,h[N];
struct edge{
int v,nxt;
edge(int v=0,int nxt=-1):v(v),nxt(nxt){}
}e[N*N];
edge &operator[](int i){
return e[i];
}
void att(int u,int v){
e[++tot]=edge(v,h[u]),h[u]=tot;
}
}g;
signed main(){
cin>>n>>r>>Tim;
FOR(u,1,n<<1){
int v,F,E;
cin>>p[u]>>F>>E,d[u]=F+E+1;
FOR(j,1,F)cin>>v,g.att(u,v+(u>n?n:0));
FOR(j,1,E)cin>>v,g.att(u,v+(u<=n?n:0));
}
h[0][0][1]=h[1][0][n+1]=1.0;
FOR(team,0,1)FOR(tim,0,Tim)FOR(u,1,n<<1){
EDGE(g,i,u,v)h[team][tim+1][v]+=h[team][tim][u]/d[u];
none[team][tim]+=h[team][tim][u];
lose[team][u>n][tim+1]+=h[team][tim][u]*(1-p[u])/d[u];
win[team][u>n][tim+1]+=h[team][tim][u]*p[u]/d[u];
}
f[0][0][0][0]=1.0;
FOR(tim,0,Tim-1){
FOR(ra,0,r-1)FOR(rb,0,r-1)FOR(team,0,1){
FOR(i,1,Tim-tim){
f[tim+i][ra][rb][0]+=f[tim][ra][rb][team]*lose[team][1][i];
f[tim+i][ra][rb][1]+=f[tim][ra][rb][team]*lose[team][0][i];
f[tim+i][ra][rb+1][0]+=f[tim][ra][rb][team]*win[team][1][i];
f[tim+i][ra+1][rb][1]+=f[tim][ra][rb][team]*win[team][0][i];
}
ans[ra][rb]+=f[tim][ra][rb][team]*none[team][Tim-tim];
}
FOR(i,0,r-1)ans[r][i]+=f[tim][r][i][0]+f[tim][r][i][1],ans[i][r]+=f[tim][i][r][0]+f[tim][i][r][1];
}
FOR(ra,0,r)FOR(rb,0,r)if(ra!=r||rb!=r)ans[ra][rb]+=f[Tim][ra][rb][0]+f[Tim][ra][rb][1];
FOR(ra,0,r)FOR(rb,0,r)if(ra!=r||rb!=r)cout<<fixed<<setprecision(10)<<ans[ra][rb]<<endl;
return 0;
}
启示
我们在 DP 过程中，如果整体处理不容易求解，我们可以考虑状态割裂，分步解决。就如以上我的推导过程就把整个踢球的过程分成了传球和射门，并把一个队伍缩成了一个点。
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