CF1967D Long Way to be Non-decreasing 题解

CF1967D Long Way to be Non-decreasing 题解

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知识点

二分答案，基环树。

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题意分析

给定一个包含 \(n\) 个元素的数组 \(\{ a_i \}\) 和一个 \(m\) 个元素的数组 \(\{ b_i \}\)。

定义每次操作为：在 \(\{ a_i \}\) 中选择任意个数，假设某个选的数为 \(a_i\)，那么将其变为 \(b_{a_i}\)。

问使 \(\{ a_i \}\) 变为单调不降的最少操作次数。

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思路分析

看到“最少”这个词语就应该考虑二分答案，再看性质，它明显满足单调性，那就是二分答案无疑了。

那么考虑二分的检验过程：

设现在二分的次数为 \(x\)，一开始的 \(mx=m\)。

我们可以从最后一个开始检验，如果不能到 \(mx\) 或到 \(mx\) 的距离大于 \(x\)，就将 \(mx\) 减一，再继续重复，做一个尺取操作，如果 \(mx\) 有降到 \(0\) 及以下，就说明不合法。

我们现在再考虑如何求距离。

明显，如果我们建图，生成 \(m\) 个点，再往第 \(i\) 个点上连一条向 \(b_i\) 的边，那么就生成了一个内向基环森林，在这里，有两种求距离的方式：

1. 把环上的每一个点都作为一棵子树的根，将距离分为环上距离与树上距离；
2. 把环上某个点连向父节点的边砍掉，重新建树，就可以转换为新树上的距离。

至此，思路已经结束。

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CODE

下面分别给出两种基环树（森林）上求距离的方法代码。

1. 把环上的每一个点都作为一棵子树的根，将距离分为环上距离与树上距离；

   #include<bits/stdc++.h>
   #define INF 0x3f3f3f3f
   #define ll long long
   #define max(a,b) ((a)<(b)?(b):(a))
   #define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
   #define tomax(a,b) ((a)=max((a),(b)))
   #define tomin(a,b) ((a)=min((a),(b)))
   #define RCL(a,b,c,d) memset((a),(b),sizeof(c)*(d))
   #define FOR(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
   #define DOR(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
   #define EDGE(g,i,u,x) for(register int (i)=(g).h[(u)],(x)=(g).v[(i)];(i);(i)=(g).nxt[(i)],(x)=(g).v[(i)])
   #define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);return Main();}signed Main
   using namespace std;
   constexpr int N=1e6+10;
   int T,n,m,idx;
   int a[N],b[N],dl[N],dr[N],dep[N],head[N];
   struct CFS{
   	int tot,h[N],v[N],nxt[N];
   	void Clear(int n){
   		tot=0,RCL(h,0,int,n+5);
   	}
   	void att(int U,int V){
   		v[++tot]=V,nxt[tot]=h[U],h[U]=tot;
   	}
   }g;
   struct DSU{
   	int fa[N],siz[N];
   	int operator [](int i){
   		return get(i);
   	}
   	void Init(int n){
   		FOR(i,1,n)fa[i]=i,siz[i]=1;
   	}
   	int get(int x){
   		return fa[x]^x?fa[x]=get(fa[x]):x;
   	}
   	bool Check(int u,int v){
   		return get(u)==get(v);
   	}
   	bool Merge(int u,int v){
   		int x=get(u),y=get(v);
   		if(x==y)return 0;
   		if(siz[x]>siz[y])swap(x,y);
   		return fa[y]=x,siz[x]+=siz[y],head[x]|=head[y],1;
   	}
   }D;
   void Build(int u){
   	dl[u]=++idx;
   	EDGE(g,i,u,v)dep[v]=dep[u]+1,Build(v);
   	dr[u]=idx;
   }
   bool Rela(int u,int v){
   	return dl[v]<=dl[u]&&dl[u]<=dr[v];
   }
   int Dis(int u,int v){
   	if(!D.Check(u,v))return INF;
   	if(Rela(u,v))return dep[u]-dep[v];
   	return Rela(b[head[D[u]]],v)?dep[u]+1+(dep[b[head[D[u]]]]-dep[v]):INF;
   }
   bool Check(int x){
   	int tim=m;
   	DOR(i,n,1){
   		while(tim&&Dis(a[i],tim)>x)--tim;
   		if(!tim)return 0;
   	}return 1;
   }
   signed Cmain(){
   	cin>>n>>m,idx=0,D.Init(m),g.Clear(m),RCL(head,0,int,m+5);
   	FOR(i,1,n)cin>>a[i];
   	FOR(i,1,m)cin>>b[i];
   	FOR(i,1,m){
   		if(D.Merge(i,b[i]))g.att(b[i],i);
   		else head[D[i]]=i;
   	}
   	FOR(i,1,m)if(D[i]==i)dep[head[i]]=0,Build(head[i]);
   	int ans=-1;
   	for(int l=0,r=m,mid=l+r>>1;l<=r;mid=l+r>>1)Check(mid)?ans=mid,r=mid-1:l=mid+1;
   	cout<<ans<<endl;
   	return 0;
   }
   signed main(){
   	for(cin>>T;T;--T)Cmain();
   	return 0;
   }
   

2. 把环上某个点连向父节点的边砍掉，重新建树，就可以转换为新树上的距离。

   #include<bits/stdc++.h>
   #define INF 0x3f3f3f3f
   #define ll long long
   #define max(a,b) ((a)<(b)?(b):(a))
   #define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
   #define tomax(a,b) ((a)=max((a),(b)))
   #define tomin(a,b) ((a)=min((a),(b)))
   #define RCL(a,b,c,d) memset((a),(b),sizeof(c)*(d))
   #define FOR(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
   #define DOR(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
   #define EDGE(g,i,u,x) for(register int (i)=(g).h[(u)],(x)=(g).v[(i)];(i);(i)=(g).nxt[(i)],(x)=(g).v[(i)])
   #define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);return Main();}signed Main
   using namespace std;
   constexpr int N=1e6+10;
   int T,n,m,idx,cnt;
   int a[N],b[N],d[N],dl[N],dr[N],id[N],num[N],rt[N],siz[N],dep[N],head[N];
   queue<int> q;
   struct CFS{
   	int tot,h[N],v[N],nxt[N];
   	void Clear(int n){
   		tot=0,RCL(h,0,int,n+5);
   	}
   	void att(int U,int V){
   		v[++tot]=V,nxt[tot]=h[U],h[U]=tot;
   	}
   }g;
   struct DSU{
   	int fa[N],siz[N];
   	int operator [](int i){
   		return get(i);
   	}
   	void Init(int n){
   		FOR(i,1,n)fa[i]=i,siz[i]=1,head[i]=0;
   	}
   	int get(int x){
   		return fa[x]^x?fa[x]=get(fa[x]):x;
   	}
   	bool Check(int u,int v){
   		return get(u)==get(v);
   	}
   	bool Merge(int u,int v){
   		int x=get(u),y=get(v);
   		if(x==y)return 0;
   		if(siz[x]>siz[y])swap(x,y);
   		return fa[y]=x,siz[x]+=siz[y],head[x]|=head[y],1;
   	}
   }D;
   void Build(int u){
   	dl[u]=++idx;
   	EDGE(g,i,u,v)if(!d[v])rt[v]=rt[u],dep[v]=dep[u]+1,Build(v);
   	dr[u]=idx;
   }
   void Circle(int u){
   	id[u]=cnt,++siz[cnt];
   	if(!id[b[u]])num[b[u]]=num[u]+1,Circle(b[u]);
   }
   bool Rela(int u,int v){
   	return dl[v]<=dl[u]&&dl[u]<=dr[v];
   }
   int Dis(int u,int v){
   	if(!D.Check(u,v))return INF;
   	if(Rela(u,v))return dep[u]-dep[v];
   	return rt[v]!=v?INF:num[v]-num[rt[u]]+(num[v]>=num[rt[u]]?0:siz[id[rt[u]]])+dep[u]-dep[rt[u]];
   }
   bool Check(int x){
   	int tim=m;
   	DOR(i,n,1){
   		while(tim&&Dis(a[i],tim)>x)--tim;
   		if(!tim)return 0;
   	}return 1;
   }
   signed Cmain(){
   	cin>>n>>m,idx=0,cnt=0,D.Init(m),g.Clear(m),RCL(d,0,int,m+5),RCL(id,0,int,m+5);
   	FOR(i,1,n)cin>>a[i];
   	FOR(i,1,m)cin>>b[i],++d[b[i]];
   	FOR(i,1,m){
   		g.att(b[i],i);
   		if(!D.Merge(i,b[i]))head[D[i]]=i;
   	}
   	FOR(i,1,m)if(!d[i])q.push(i);
   	while(!q.empty()){
   		int u=q.front();q.pop();
   		if(!(--d[b[u]]))q.push(b[u]);
   	}
   	FOR(i,1,m)if(d[i])rt[i]=i,Build(i);
   	FOR(i,1,m)if(D[i]==i)dep[head[i]]=0,Build(head[i]);
   	FOR(i,1,m)if(D[i]==i)siz[++cnt]=0,num[head[i]]=1,Circle(head[i]);
   	int ans=-1;
   	for(int l=0,r=m,mid=l+r>>1;l<=r;mid=l+r>>1)Check(mid)?ans=mid,r=mid-1:l=mid+1;
   	cout<<ans<<endl;
   	return 0;
   }
   signed main(){
   	for(cin>>T;T;--T)Cmain();
   	return 0;
   }
   

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总结

这题最难的部分在于二分答案的检验过程与基环森林的构建，攻克后就十分简单，十分适合练手。