洛谷 U425084 King’s Roads 题解

U425084 King’s Roads 题解

---

知识点

这道题是一道最小生成树 Boruvka 算法的板子题，只需略微搭配双指针与并查集。

---

分析

首先，明显地，它是最小生成树题目，那我们考虑 Kruscal 算法与 Prim 算法，似乎他们在完全图上作用不大，对于这道题而言，他们好像做不了（或者很难，反正我不会）。

那我们就考虑一种比较少见的最小生成树算法：Boruvka 算法。

这种算法有一个明显的优点：每次操作后联通块个数减半，总次数约为 \(\log_2{n}\) 次。

那么在这 \(\log_2{n}\) 次操作里，就足够支持我们进行时间复杂度 \(O(n)\) 的单次操作。

再者，题目中 \(a_i \in [1,m-1]\) 的条件就可以给我们一个性质：排序后，对于点 \(i\)，使得边为最小值的另一个端点 \(j\) 可以用双指针维护。

但是，注意到我们还要保证边不在一个联通块上，那么双指针在更新时可能达到总时间复杂度为 \(O(n^2)\) 的情况，这如何处理呢？

我们转念一想：保证边不在一个联通块上，那么就是跳过同一个颜色的线段，我们直接再开一个并查集将相同颜色的点连起来即可，均摊时间复杂度 \(O(n\log_2{n})\)。

总时间复杂度 \(O(n\log_2{n})\)。

---

CODE

30pts

直接暴力建图。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)<(b)?(b):(a))
#define min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define add(a,b) ((a)+(b)>=(m)?((a)+(b)-(m)):((a)+(b)<0?((a)+(b)+(m)):((a)+(b))))
#define tomax(a,b) ((a)=max((a),(b)))
#define tomin(a,b) ((a)=min((a),(b)))
#define toadd(a,b) ((a)=add((a),(b)))
#define RCL(a,b,c,d) memset((a),(b),sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define EDGE(g,i,u,v) for(register int (i)=(g).h[(u)],(v)=(g).v[(i)];(i);(i)=(g).nxt[(i)],(v)=(g).v[(i)])
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
const int N=1e3+10,M=1e6+10;
int n,m,tot;
ll sum;
int a[N];
struct DSU{
	int fa[N];
	void init(int n){
		FOR(i,1,n)fa[i]=i;
	}
	int get(int x){
		return fa[x]^x?fa[x]=get(fa[x]):x;
	}
	bool merge(int u,int v){
		int x=get(u),y=get(v);
		return fa[x]=y,x!=y;
	}
}dsu;
struct edge{
	int u,v,w;
	friend bool operator <(edge a,edge b){
		return a.w<b.w;
	}
}e[M];
signed main(){
	cin>>n>>m;dsu.init(n);
	FOR(i,1,n)cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	FOR(i,1,n)FOR(j,i+1,n)e[++tot]={i,j,add(a[i],a[j])};
	sort(e+1,e+tot+1);
	FOR(i,1,tot)if(dsu.merge(e[i].u,e[i].v))sum+=e[i].w;
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

70pts

如上。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define ll long long
#define add(a,b) ((a)+(b)>=(m)?((a)+(b)-(m)):((a)+(b)))
#define RCL(a,b,c,d) memset((a),(b),sizeof(c)*(d))
#define FOR(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define DOR(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define main Main();signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);return Main();}signed Main
using namespace std;
const int N=1e6+10;
ll n,m,sum;
ll a[N],v[N],w[N];
int it[N][2];
struct DSU{
	int cnt,fa[N];
	void init(int n){
		cnt=n;
		FOR(i,1,n)fa[i]=i;
	}
	int get(int x){
		return fa[x]^x?fa[x]=get(fa[x]):x;
	}
	bool check(int u,int v){
		return get(u)==get(v);
	}
	bool merge(int u,int v){
		int x=get(u),y=get(v);
		return fa[x]=y,cnt-=(x!=y),x!=y;
	}
}D[2];
signed main(){
	cin>>n>>m;
	FOR(i,1,n)cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	FOR(i,1,n)it[i][0]=1,it[i][1]=lower_bound(a+1,a+n+1,m-a[i])-a;
	D[0].init(n),D[1].init(n);
	while(D[0].cnt>1){
		FOR(i,1,n-1)if(D[1].get(i)==i&&D[0].check(i,i+1))D[1].merge(i,i+1);
		FOR(i,1,n)if(D[0].check(i,it[i][0]))it[i][0]=D[1].get(it[i][0])+1;
		FOR(i,1,n)if(D[0].check(i,it[i][1]))it[i][1]=D[1].get(it[i][1])+1;
		FOR(i,1,n)v[i]=0,w[i]=INF;
		FOR(i,1,n)if(it[i][0]<=n||it[i][1]<=n){
			int pa=D[0].get(i);
			bool ty=(it[i][0]>n||it[i][1]>n)?(it[i][0]>n):(add(a[i],a[it[i][0]])>add(a[i],a[it[i][1]]));
			if(add(a[i],a[it[i][ty]])<w[pa])w[pa]=add(a[i],a[it[i][ty]]),v[pa]=it[i][ty];
		}
		FOR(i,1,n)if(D[0].get(i)==i&&D[0].merge(i,v[i]))sum+=w[i];
	}
	cout<<sum<<endl;
	return 0;
}

---