图论（3）--图论工具箱及应用

Matlab图论工具箱介绍

命令列表

命令名	功能
graphallshortestpaths	求图中所有顶点对之间的最短距离
graphconncomp	找无向图的连通分支，或有向图的强弱连通分支
graphisdag	测试有向图是否含有圈，不含圈返回1，否则返回0
graphisomorphism	确定两个图是否同构，同构返回1，否则返回0
graphisspantree	确定一个图是否是生成树，是返回1，否则返回0
graphmaxflow	计算有向图的最大流
graphminspantree	在图中找最小生成树
graphpred2path	把前驱顶点序列变成路径的顶点序列
graphshortestpath	求图中指定的一对顶点间的最短距离和最短路径
graphtopootder	执行有向无圈图的拓扑排序
graphtraverse	求从一顶点出发，所能遍历图中的顶点

graphallshortestpaths函数

Matlab使用方法

① 根据题目构造权值向量；

② 匹配线段的起始点与相应的权值；

③ 调用函数graphallshortestpaths

函数格式

[dist]=graphallshortestpaths(G)

[dist]=graphallshortestpaths(G,...’Directed’,DirectedValue,...)

[dist]=graphallshortestpaths(G,...’Weights’,WeightsValue,...)

DirectedValue属性

属性	作用
True	有向图（默认）
False	无向图

WeightsValue属性

Weightvalue属性一般不用指定，函数graphallshortestpath函数默认从稀疏矩阵G中获取。

graphshortestpaths函数

函数调用格式

[dist,path]=graphshortestpaths(G,S,T)

[dist,path]=graphshortestpaths(G,S,T’Directed’,DirectedValue,...)

[dist,path]=graphshortestpaths(G,S,T’Weights’,WeightsValue,...)

函数参数说明

G	稀疏矩阵
S	起点
T	终点
Dist	最短距离
path	最短距离经过的路径节点

最小生成树graphminspantree函数

函数调用格式

[Tree,pred]=graphminspantree(G)

[Tree,pred]=graphminspantree(G,R)

[Tree,pred]=graphminspantree(...,’Method’,MethofValue,...)

[Tree,pred]=graphminspantree(...,’Weights’,WeightsValue,...)

参数说明

该函数用来寻找一个无循环的节点集合，连接无向图的全部节点，并且总的权值最小。

Tree	一个代表生成树的稀疏矩阵
Pred	包含最小生成的祖先节点的向量
G	稀疏矩阵
R	根节点，取值为1到节点数目
Method	可以选择‘Kruskal’,’Prim’等算法

图的遍历graphtraverse函数

函数调用格式

[disc,pred,closed]=graphtraverse(G,S)

[...]=graphtraverse(G,S,...’Directed’,DirectedValue,...)

[...]=graphtraverse(G,S,...’Depth’,DepthValue,...)

[...]=graphtraverse(G,S,...’Method’,MethodValue,...)

参数说明

G	有向图的稀疏矩阵
S	起始节点
Disc	节点索引向量
Pred	祖先节点索引向量

Methodvalue表示遍历方法：默认为“深度优先遍历”(DFS和DPS后面会介绍)

返回稀疏矩阵adjacency

函数调用格式

A = adjacency(G)
A = adjacency(G,'weighted')
A = adjacency(G,weights)

A = adjacency(G)返回图 G 的稀疏邻接矩阵。

A = adjacency(G,'weighted') 返回加权邻接矩阵，其中对于每条边 (i,j)，值 A(i,j)包含边的权重。

A = adjacency(G,weights)返回加权邻接矩阵，其边权重由向量 weights指定。

具体链接请查看matlab手册：图邻接矩阵 - MATLAB adjacency - MathWorks 中国

利用图论工具箱解决最大流，最小费用最大流问题

最大流问题

问题描述

graphmaxflow函数

注意：该工具箱函数权值必须为正，且两个顶点不能有两条弧。我们可以在权值最小的那条边中间插入新的顶点，再将其依次连接，新边的权值均与原来的权值相等。

函数调用格式

[MaxFlow,FlowMatrix,Cut]=graphmaxflow(G,SNode,TNode)

[...]=graphmaxflow(G,SNode,TNode,...’Capacity’,CapacityValue,...)

[...]=graphmaxflow(G,SNode,TNode,...’Method’,MethodValue,...)

函数参数说明

G	N*N的稀疏矩阵
SNode	起点
TNcode	目标点
CapacityValue属性	每条边自定义容量的列向量，默认从G中获取
MethodValue属性	可以取‘Edmonds’和‘Goldberg’算法
输出参数MaxFlow	网络最大流
输出参数FlowMatrix	每条边数据流的值所组成的稀疏矩阵
输出参数cut	连接起点与目标点的逻辑向量，如果有多个解时，Cut是一个矩阵

关于Sparse函数

详见：https://www.cnblogs.com/Demo1589/p/7881762.html

最小费用最大流问题

问题描述

解决步骤：

1. Matlab求出最大流
2. Lingo代码解决

具体实现

视频：https://www.bilibili.com/video/BV1sf4y157ZG

这部分就是简单的调用函数，非常简单~

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