[总结] 零散的 tricks

对于类似构造方案的题目，先确定其中一些关键位置的方案，然后看是否能较为简单地推出其他位置的方案。

一个长度为 \(n\) 的序列，满足

\[a_1\le-a_4\le a_7\le-a_{10}\le\cdots\\ a_2\le-a_5\le a_8\le-a_{11}\le\cdots\\ a_3\le-a_6\le a_9\le-a_{12}\le\cdots \]

有 \(q\) 次询问，每次给出 \(l,r\)，问通过 \(+1,-1\) 操作使得区间 \([l,r]\) 满足 \(a_i=a_{i-1}+a_{i+1}\) 的最小代价。

\(n,q\le 10^5\)

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对于类似构造方案的题目，先将大部分位置以相对粗糙的方式调为合法，此时最后几个位置限制会增多些，这时候再精细讨论。

给定两个长为 \(n(n>5)\) 的字符串 \(S,T\)，字符集是 \(\{R,W,Y\}。\)

令 \(L_i=i-1,R_i=i+1\) ，特别的，\(L_1=n,R_n=1\)。

如果 \(S_{L_i}\neq S_{R_i}\) ，那么你可以自由修改 \(S_i\)。

求一种方案使得 \(S=T\)。

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对于题目贡献是 \(\frac{x}{y}\) 这种形式，可以看成斜率，维护凸包来处理。

一个长为 \(n\) 的序列，区间 \([l,r]\) 的贡献是 \(\frac{\sum_{i=l}^r x_i}{r-l}\)，\(q\) 个询问，每次给出 \(l,r\)，为该区间贡献最大的子区间。

\(n\le 10^5,q\le3\times10^4\)

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对于题目贡献是 \(\frac{x}{y}\) 这种性质，可以通过假定答案，从而实现移项去掉分数，然后 check 是否能达到。

有一张点数为 \(n\) 的完全图，从中选 \(n\) 条边 \((x,y)\)，要求每个点作为 \(x,y\) 各恰好一次，令 \(\frac{\sum a_{x,y}}{\sum b_{x,y}}\) 最大。

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对于要在若干对点之间连线，按距离算贡献的题目，一种设状态的方式是当前还有多少线悬在空中，也是一种提前算费用

数轴上有 \(n\) 个红点，\(m\) 个蓝点，要求每个点至少和一个异色点连线，代价是距离，求最小代价。

\(n,m\le10^5\)

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对于构造类题目，有 \(x\) 种颜色，\(y\) 的限制，一种满足限制的构造技巧是 \(y^x>n\)

一个 \(n\) 个点，\(m\) 条边的 DAG，用三种颜色给 \(m\) 条边染色，要求连续的同色边不能到 \(42\) 条。

\(n\le5\times10^4,m\le2\times10^5\)

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对于要求字符串本质不同的题目，都可以丢到相应的自动机上。

求本质不同回文子序列。

\(n\le5000\)

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对于多串的匹配相关题目，往往要依靠 AC 自动机去重，然后来实现。

给定正整数 \(m\) 以及 \(n\) 个 \(01\) 串 \(s_1\sim s_n\),你需要求出长度为 \(2m\) 的反对称的包含这 \(n\) 个 \(01\) 串作为子串的 \(01\) 串的个数。对 \(998244353\) 取模。
一个 \(01\) 串 \(s\) 是反对称的当且仅当它对于 \(1\le i\le |s|\) 都满足 \(s[i]≠s[|s|-i+1]\)。

\(n\le6,|s|\le100,m\le500\)

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对于线段树每个节点都要倍增，因此复杂度过高，可以将线段树补成每个节点都是 \(2^n\)，就只要倍增一次。

一开始先给出 \(n\) 个字符串 \(T_i\),再给出字符串 \(S\),然后进行操作。
一共操作 \(Q\) 次,分为两种：
1 l r str：把 \(S\) 的区间 \([l,r]\) 的字符串修改为字符串 \(str\) 不停重复的结果。
2 l r：询问 \(T_1\sim T_n\) 在 \(S\) 的区间 \([l,r]\) 中一共出现了几次。
注意每次修改对之后的操作是有影响的。

保证所有 \(T_i\) 插入一个字典树后,字典树大小不超过 \(50\).

\(n≤50,Q≤100000,|S|≤100000\)，所有修改操作的 \(str\) 的长度总和不超过 \(|S|\)。

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对于字典序大小相关的题目，考虑第一个不同的位置来比较字典序。

给定一个 \(n\) 个元素的 \(k\) 叉堆，权值是一个排列，问在所有的权值是一个排列的 \(k\) 叉堆中，给出的堆的字典序排名。

\(n,k\le 3000\)

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对于维护一段合法前缀类的问题，可以用线段树二分。

给出一个 \(n\) 个点的树，权值为 \(0\sim n-1\) 的一个排列，问最大路径 \(\rm{mex}\) 的多少。

每次修改是交换两个点的权值，多次询问。

\(n\le2\times10^5\)

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在 \([1,V]\) 中随机选 \(n\) 个数，第 \(k\) 小的期望大小是 \(\frac{k}{n}V\).

给出 \(n\) 个点，\(m\) 条边的 DAG，问每个点能到几个点。

\(n,m\le10^6\).

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对于排序不影响答案的题目，不妨先排序。

给出若干正方体堆砌的主视图和左视图，求所有方案的正方体个数之和。

\(n,m\le5\times10^5\)

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需要二分图染色的结果，建图只要连通即可。

给一个排列做双栈排序，判断是否可行,并输出字典序最小的方案。

\(n\le 10^5\)。

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对于每组选一个数，不同组贡献为乘积的数，可以用类似生成函数的方式表示+维护。

你有 \(n\) 个正整数，第 \(i\) 个在集合 \(B_i\) 中均匀独立随机。
然后按照结果最大的顺序把 \(a_1\sim a_n\) 拼起来，求最大结果的期望值。
\(n\le2333,\sum|B_i|\le23333,|S|\le1919810\).

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求形如 \(\sum a_i^2\) 类的东西，可以一对一对考虑。

黑盒子里有 \(nk\) 个白球，重复 \(n\) 次操作：放入 \(k\) 个黑球，取出 \(2k\) 个球.

记 \(E(i)\) 表示第 \(i\) 次操作期望意义下取出的黑球数，求：\(\sum E(i^2)\)

\(n\le 10^6, k\le 100\).

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两个图叠加后，重心位于两个原重心的路径上。

树的 dfs 序列的带权重心一定在树的带权重心的子树中。

给你一棵 \(n\) 个点的树，支持子树加和链加，询问每次修改后的带权重心。

\(n,q\le 3\times 10^5\)