[笔记] 圆方树

仙人掌

与圆方树的关系

圆方树最初是用来处理仙人掌问题的，但在处理某些问题时，也可以拓展到一般图。

定义

每条边在不超过一个简单环中的无向图。

相关问题

如果一个序列问题不够毒瘤，就上树，还不够，就上仙人掌。

不过这里只考虑一些基础的问题，一个共同的核心思想就是按照是否在环上来讨论。

• 直径
• 最大独立集
• 最短路 (建成圆方树，边权分是否在环上讨论，lca 分是否在环上讨论)

注意注意代码实现中的处理方式。

void solve(int x, int y){
	int len = dep[y] - dep[x] + 1;// 环的长度
	/* do some thing */
}
void tarjan(int x){
	dfn[x] = low[x] = ++tim; 
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nx){
		int y = e[i].to; if(y == fa[x]) continue;
		if(!dfn[y]){
			fa[y] = x, dep[y] = dep[x] + 1;
			tarjan(y), low[x] = min(low[x], low[y]);
			if(low[y] > dfn[x]) /* 按照树边处理 */;
		}else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nx){
		int y = e[i].to;/* x 是环上最浅的点，y 是最深的点 */	
		if(fa[y] != x && dfn[y] > dfn[x]) solve(x, y);
	}
}

ex：仙人掌相关问题的处理方法 by zhangche0526

圆方树的构建

对于每个点双，建立一个方点，与点双内的点连边。

void tarjan(int x){
	dfn[x] = low[x] = ++tim, stk[++top] = x;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].nx){
		int y = e[i].to;
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y), low[x] = min(low[x], low[y]);
			if(low[y] >= dfn[x]){
				++tot, Add(tot, x);
				while(stk[top + 1] != y) Add(tot, stk[top]), --top;
			}
		}else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
	}
}