P11989 笔记

题目大意

有 \(N\) 个怪物，第 \(i\) 个怪物强度为 \(P_i\)，在 \(S_i\) 时刻出现，有 \(H_i\) 的血量。

勇者每秒可以对某个怪物造成 \(1\) 点伤害，当怪物血量降为 \(0\) 时就被打败了，后续不能再攻击它。在 \(T\) 秒时，所有怪物会一起爆炸，爆炸的攻击力为 \(H_1P_1 + H_2P_2 \ldots + H_NP_N\)。

现在有 \(Q\) 次询问，每次询问给出勇者的血量 \(M\)，你需要求出勇者能挑战的最高难度 \(\ell \in [0, L]\)。在 \(\ell\) 难度下，所有怪物的血量变为原本的 \(\ell\) 倍，你需要确保该难度下勇者血量不会降为负数。

思路

假设 \(\ell\) 确定，一个贪心策略就是每秒选择场上存活的 \(P\) 最大的怪物攻击，则可以做到 \(O(N \log N)\)。

但是这就不是很好优化了，考虑拆贡献，将 \(P\) 排序并去重后的数组记为 \(\{B_M\}\)。枚举 \(i\) 并将所有 \(P_j \ge B_i\) 的怪物拉出来，这个时候只需要看能最多攻击多少次，再将攻击次数乘上 \(B_i - B_{i - 1}\) 就行了（设 \(B_0 = 0\)）。

这个不是很好理解，胡了一段：首先把 \(=B_M\) 的 \(P\) 拉出来单独算贡献，算完它们的贡献，它们就和 \(B_{M - 1}\) 没有区别了，于是就可以把它们一起做，权值为 \(B_i - B_{i - 1}\)。

于是现在转化为了 \(P_i = 1\) 的情况，这种情况下，我们把每个 \((S_i, H_i, 1)\) 的怪物拆成 \(H_i\) 个 \((S_i, 1, 1)\) 的怪物，容易发现这是等价的，并时光倒流，把 \(S_i\) 变为 \(T - S_i\)，这样就相当于 \([0, S_i)\) 时间能攻击 \(i\) 了。按 \(S_i\) 排序后，怪物爆炸的最小伤害就是：

\[\max_{i = 0}^N \left(\ell \cdot \sum_{j = 0}^i H_j - S_i \right) \]

证明：把 \(1 \sim T\) 这 \(T\) 个时间点看作左部点，\(\sum H_i\) 个怪物看作右部点，接着第 \(i\) 个时间点向所有 \(S_j \ge i\) 的点连边，对这个图做最大匹配就是能造成的最大伤害，于是用霍尔定理可以得到上面的式子。

于是记 \(W_i = \sum_{j = 0}^i H_i\)，最小伤害就是 \(\max_{i = 0}^N \left(\ell \cdot W_i - S_i\right)\)，这就是 \(N + 1\) 个一次函数形成的上凸壳，可以用栈 \(O(N)\) 求出。

最后将其乘上 \(B_i - B_{i - 1}\) 的权值后，差分一下即可。

总时间复杂度 \(O(N^2 + L + Q\log L)\)。