斜率优化笔记

这个东西学一次忘一次，写一个笔记加深记忆。

斜率优化中，又下列转移式：

\[dp(i) = dp(j) + c(i, j) + b \]

假设我们要求 \(dp(j) + c(i, j)\) 的最大值，其中 \(c(i, j)\) 是一个关于 \(i\) 和 \(j\) 的一次函数。

接着我们有：

\[c(i, k) < c(i, j) \]

而由于 \(c\) 是一个关于 \((i, j)\) 的一次函数，那么可以写成下列形式：

\[c(i, j) = b(j) + f(i)g(j) \]

接着展开得：

\[b(k) + f(i)g(k) < b(j) + f(i)g(j) \]

移项得：

\[f(i) < \dfrac{g(j) - g(k)}{b(j) - b(k)} \]

这个东西相当于两点的斜率，显然 \(f(i)\) 取在上凸包时最优。