一阶电路的e和二阶电路的π：从电路公式看自然界的两面

RC 电路的电流公式里有 \(e\)，LC 电路的电流公式里有 \(\sin\)，背后连着 \(\pi\), 一个是衰减，一个是循环。
这篇文章就从这两个公式的推导出发，看看数学常数和物理过程之间的那点必然联系

象征着衰减的RC一阶电路

假如有一个一阶RC串联电路，电容初始电压为 \(V\) 并开始放电，电容的瞬间电流 \(i_c(t)\)的公式为：

\[\begin{equation} \boxed{i_c(t) = \frac{V}{R} e^{-\frac{t}{RC}}} \end{equation} \]

初识这个公式时，觉得它很丑陋，且由于用得不多，还经常忘记。但后来随着对它的理解逐渐深入，发现了它的数学之美。先看看它的推导过程：

根据基尔霍夫定律，列出电路中的电压关系：

\[\begin{equation} 0 = v_c(t) + i_c(t) R \end{equation} \]

电容电流是电荷量对时间的导数，即：

\[\begin{equation} i_c(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{dv_c(t)C}{dt} \end{equation} \]

将式\((2)\)带入\((3)\)得：

\[\begin{align} i_c(t) &= -RC\frac{di_c(t)}{dt} \\ \Rightarrow -\frac{dt}{RC} &= \frac{di_c(t)}{i_c(t)} \\ \end{align} \]

两边同时积分

\[\begin{align} -\int \frac{dt}{RC} &= \int \frac{di_c(t)}{i_c(t)} \\ \Rightarrow -\frac{t}{RC} + K &= \ln {i_c(t)} \\ \Rightarrow i_c(t) &= e^{-\frac{t}{RC}} e^{K} \\ \end{align} \]

通过电容的初始电压 \(V\)，可得初始电流为 \(\frac{V}{R}\)，即：

\[\begin{align} i_c(0) &= e^{K} = \frac{V}{R} \\ \end{align} \]

式\((9)\)代入式\((8)\)最终得到式\((1)\)。这个公式在推导过程中出现了自然常数 \(e\)，背后似乎有着必然联系。

自然常数 \(e\) 的来源

历史上推导 \(e\) 的起源，是经典的复利模型：

问题：假设你在银行存了 1 元钱，年利率是 100%。一年结算一次，一年后你得到 \(1 \times (1 + 100\%) = 2\) 元。

如果半年结算一次，利率按比例折算，半年利率 50%，复利计算：

\[\begin{equation} (1 + \frac{1}{2})^2 = 1.5^2 = 2.25 \text{ 元} \end{equation} \]

如果每月结算一次：

\[\begin{equation} (1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2.6130 \text{ 元} \end{equation} \]

如果每天结算一次：

\[\begin{equation} (1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2.7146 \text{ 元} \end{equation} \]

如果每秒结算一次，甚至无限细分下去，钱会无限增长吗？

数学家发现，当结算次数 \(n\) 趋近于无穷大时，最终结果会趋近于一个固定的极限，这个极限就是 \(e\)：

\[\begin{equation} \boxed{e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n} \end{equation} \]

结论：\(e\) 代表在 100% 复利增长条件下，单位数量经过单位时间连续复利后的极限值。

\(e\) 有个重要性质，假如有个函数\(f(x)=e^x\),那么它的导数等于它自己，即：

\[\begin{equation} \boxed{\frac{de^x}{dx} = e^x} \end{equation} \]

推导过程：

从导数的极限定义出发：

\[\begin{equation} \frac{d}{dx} a^x = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \end{equation} \]

我们希望找到底数 \(a\)，使得后面的极限等于 1：

\[\begin{equation} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = 1 \end{equation} \]

解这个方程，当 \(h\) 很小时：

\[\begin{align} a^h - 1 &\approx h \\ a^h &\approx 1 + h \\ a &\approx (1 + h)^{1/h} \end{align} \]

当 \(h \to 0\) 时：

\[\begin{equation} a = \lim_{h \to 0} (1 + h)^{1/h} \end{equation} \]

令 \(n = 1/h\)，当 \(h \to 0\) 时 \(n \to \infty\)：

\[\begin{equation} a = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \end{equation} \]

公式推到这里，应该能看到 \(e\) 和上面电路公式的内在联系了。电容中的电荷越多，电荷就减少得越快，对应到数学公式中就是，电流的导数正比于电流的大小。一个物理量的大小等于自己的导数，这就是 \(e\) 的本质。

象征着循环的LC二阶电路

再来看另一个电路，如果将上面电路中的电阻换成电感，就构成了LC串联电路，假设电容初始电压为\(V\)并开始放电，由基尔霍夫定律可列出电压关系：

\[\begin{align} v_c(t) + v_l(t) &= 0 \\ \Rightarrow v_c(t) + L \frac{di_c(t)}{dt} &= 0 \end{align} \]

上式两边同时求导：

\[\begin{align} \frac{dv_c(t)}{dt} + L \frac{d^2i_c(t)}{dt^2} &= 0 \\ \Rightarrow \frac{i_c(t)}{C} + L \frac{d^2i_c(t)}{dt^2} &= 0 \end{align} \]

上式是一个二阶微分方程，对方程求解，设辅助方程：

\[\begin{equation} Lr^2 + \frac{1}{C} = 0 \end{equation} \]

解得：

\[\begin{align} r_1 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ r_2 &= -\frac{1}{\sqrt{LC}} \end{align} \]

设微分方程通解为：

\[\begin{equation} i_c(t) = A e^{\frac{t}{\sqrt{LC}}} + B e^{-\frac{t}{\sqrt{LC}}} \end{equation} \]

根据电路的初始条件：

\[\begin{align} i_c(0) &= A + B = 0 \\ i_c'(0) &= A \frac{t}{\sqrt{LC}} - B \frac{t}{\sqrt{LC}} = \frac{V}{L} \end{align} \]

可解得：

\[\begin{align} i_c(t) &= \frac{V}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} (e^{\frac{t}{\sqrt{LC}}} - e^{-\frac{t}{\sqrt{LC}}}) \\ \end{align} \]

最终用欧拉公式展开化简得到：

\[\begin{equation} \boxed{i_c(t) = V \sqrt{\frac{C}{L}} \sin{\frac{t}{\sqrt{LC}}}} \end{equation} \]

把 RC 和 LC 放在一起看，会发现一件有趣的事：RC 电路给出的是 \(e^{-t/RC}\)，LC 电路给出的是 \(\sin(\frac{t}{\sqrt{LC}})\)。
前者对应的是“回不去的衰减”——能量被电阻消耗，过程不可逆，最终归于静止。
后者对应的是“停不下来的循环”——能量在电感和电容之间来回倒，如果没有电阻，它会一直振荡下去。
一个指向 \(e\)，一个背后是 \(\pi\)。
衰减和循环，本就是自然界最基本的两种走势。而 RC 和 LC，恰好是它们在电路里的化身。

参考资料：https://www.cnblogs.com/CIB27149/p/19698066