广义后缀自动机

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广义后缀自动机 (General Suffix Automaton) 是将后缀自动机整合到字典树中来解决对于多个字符串的子串问题

常见的伪广义后缀自动机

1. 通过用特殊符号将多个串直接连接后，再建立 SAM
2. 对每个串，重复在同一个 SAM 上进行建立，每次建立前，将 lst 指针置零

一般情况下，这两种方法的时间复杂度与广义后缀自动机的最坏时间复杂度相同，但如果题目给的是 Trie 的话效率差距就很大了。

在线构建广义后缀自动机

在线构建广义后缀自动机的复杂度优于离线构建，且实现较好理解，其实现依赖于对 insert() 的修改。

和上面一样，lst 不记录在 exSAM 中而是由 insert() 返回，每次在上次的基础上新增节点。

对每个字符串，我们都从 lst = 0 开始构建 exSAM，我们对 \(sam_lst.son_c\) 是否已存在分类讨论：

• 如果还不存在，那么按照正常的 SAM 执行即可。
• 否则，我们令 \(p \leftarrow lst, np \leftarrow sam_lst.son_c\) 并检查是否有 \(len_{np} = len_{p} + 1\)：
  • 如果是，那么 \(np\) 就是我们想新建的点，直接返回即可。
  • 否则我们要做类似 SAM 中分裂的事情，我们令 \(nq \leftarrow clone(np)\)，令 \(len_{nq} \leftarrow len_{np} + 1\)，并一样的跳后缀链接去一路修改所有到 \(np\) 的转移，不用的是，这里的 \(nq\) 才是真正代表我们新来的字符的节点，因此应当返回 \(nq\)。

int tot = -1,lst;
struct node
{
    int son[26],fa,len;
}sam[N];

void newnode(int len)
{
    sam[++tot].len = len;
    sam[tot].fa = -1;
}

void insert(int c)
{
    int p = lst,np = sam[p].son[c];
    if(np)
    {
        if(sam[np].len == sam[p].len + 1) lst = np;
        else
        {
            newnode(sam[p].len + 1);
            int nq = tot;
            memcpy(sam[nq].son,sam[np].son,sizeof sam[nq].son);
            sam[nq].fa = sam[np].fa;
            sam[np].fa = nq;
            while(p != -1 && sam[p].son[c] == np) sam[p].son[c] = nq,p = sam[p].fa;
            lst = nq;
        }
    }
    else
    {
        newnode(sam[p].len + 1);
        np = tot;
        while(p != -1 && !sam[p].son[c])
        {
            sam[p].son[c] = np;
            p = sam[p].fa;
        }
        if(p == -1) sam[np].fa = 0;
        else
        {
            int q = sam[p].son[c];
            if(sam[q].len == sam[p].len + 1) sam[np].fa = q;
            else
            {
                newnode(sam[p].len + 1);
                int nq = tot;
                memcpy(sam[nq].son,sam[q].son,sizeof sam[nq].son);
                sam[nq].fa = sam[q].fa;
                sam[np].fa = sam[q].fa = nq;
                while(p != -1 && sam[p].son[c] == q)
                {
                    sam[p].son[c] = nq;
                    p = sam[p].fa;
                }
            }
        }
        lst = np;
    }
}

signed main()
{
    newnode(0);
    int n = rd();
    while(n--)
    {
        string s;
        cin >> s;
        lst = 0;
        for(char c : s) insert(c - 'a');
    }
    //...
    return 0;
}

例题

【模板】广义后缀自动机（广义 SAM）

[CTSC2012] 熟悉的文章