求短多项式分数次幂
求短多项式分数次幂
概述
本文提供一个方法方便快速地求出形如 \(A^k(x)=B(x)\) 中 \(A(x)\)，其中\(B(x)\)为短多项式。
细节
\[A^k(x) = B(x) \\
[A^k(x)]' = B'(x) \\
kA^{k-1}(x)A'(x) = B'(x) \\
kA^(k-1)(x)A'(x)A(x) = B'(x)A(x) \\
kB(x)A'(x) = B'(x)A(x)
\]
然后提取出\([x^n]\)即可。
\[令A(x) = \sum_{i=0}^{|A|} a_i x^i \\
B(x) = \sum_{i=0}^{|B|} b_i x^i \\
A'(x) = \sum_{i=0}^{|A|-1} (i+1)a_{i+1} x^i \\
B'(x) = \sum_{i=0}^{|B|-1} (i+1)b_{i+1} x^i \\
b_0\cdot a_{n+1} = \sum_{i=1}^{|B|}[i-k(n-i+1)]b_i \cdot a_{n-i+1}
\]
即递推形式
