欧拉路径

欧拉路径

判定定理 及 证明

有向图

• 欧拉路径： 有且仅有一个 ‘入度=出度+1’ 的点和一个 ‘出度=入度+1’ 的点（起点， 终点） 或 所有点 ‘入度=出度’
• 欧拉回路：所有点入度=出度（起/终点任意）

无向图

• 欧拉路径： 有且仅有两个 度数为奇数 的点（起点， 终点） 或 所有点 ‘度数均为偶数’
• 欧拉回路：所有点度数均为偶数（起/终点任意）

证明

• 每条边都要走一次， 所以对于每个中间点（非起点/终点）， 走进来之后都要走出去， 所以入度=出度/度数均为偶数
• 对于起点/终点， 在开始/结束时可以只走出去/走进来， 所以入（出）度=出（入）度+1/度数为奇数

如何做到 ‘字典序最小’ ？

给 x 节点所有能到达的点排个序就行了， 哈哈哈哈

示例

• 注意： 要确保每条边只走一步！

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, INF = 1e18;

int n, m, b;
int fst[N], idg[N], odg[N], st[N];
string s[N];
vector <pair <int, int>> e[N];
vector <int> ans;

void Dfs(int x){
    // cout << x << " ";
    for(int &i = st[x]; i < e[x].size();){
        int id = e[x][i].first;
        // cout << id << "id ";
        Dfs(e[x][i++].second);
        ans.push_back(id);
    }
}

signed main(){
    // freopen("1.in", "r", stdin);
    freopen("card.in", "r", stdin);
    freopen("card.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    cin >> n >> m >> b;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> s[i];
    
        int ps = 0, f = 1;
        for(int j = 0; j < s[i].size(); j++){
            if(s[i][j] == '1'){
                if(!ps){
                    ps = j + 1;
                    fst[i] = j;
                    continue;
                }
                if(((j + 1) - ps) % m != 0){
                    f = 0;
                    break;
                }
                ps = j + 1;
            }
        }
        if(f == 0 || ps == 0){
            cout << "-1\n";
            return 0;
        }         

        for(int j = 0; j < s[i].size(); j++){
            if(s[i][j] == '0'){
                if((j - fst[i]) % m == 0){
                    f = 0;
                    break;
                }
            }
            if(s[i][j] != '0'){
                if((j - fst[i]) % m != 0){
                    f = 0;
                    break;
                }
            }
        }
        if(f == 0){
            cout << "-1\n";
            return 0;
        }         

        int st = ((b - fst[i]) % m + m) % m;
        int ed = ((b - fst[i] + s[i].size()) % m + m) % m;
        e[st].push_back({i, ed});
        idg[ed]++, odg[st]++;
        // cout << st << "+" << ed << "\n";
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(idg[i] != odg[i]){
            cout << "-1\n";
            return 0;
        }
    }
    for(int i = 0; i < m; i++){
        sort(e[i].begin(), e[i].end());
    }
    Dfs(0);
    if(ans.size() != n){
        cout << "-1\n";
        return 0;
    }
    reverse(ans.begin(), ans.end());
    for(auto i : ans){
        cout << i << " ";
    }
    cout << "\n";
}