树哈希

树哈希

• 用于解决树同构问题

  • 树同构

    对于两个树 \(T_1\) 和 \(T_2\)，如果能够把树 \(T_1\) 的所有点重新标号，使得树 \(T_1\) 和树 \(T_2\) 完全相同，那么这两个树是同构的。也就是说，它们具有相同的形态

• 方法

  • 将子树大小等信息进行哈希

  • 用 unsigned long long 自然溢出

• 法一：$ Xor $ _ $ shift $

  • 貌似不太好进行换根

# define i64 long long

unsigned i64 Xor_shift(unsigned i64 x){
    x ^= x >> 13;
    x ^= x << 7;
    x ^= x >> 17;
    return x;
}

void Dfs(int x){
    hsh[x] = 1;
    for(auto i : e[x]){
        Dfs(i);
        hsh[x] += Xor_shift(hsh[i]);
    }
}

• 法二：对 $ size $ 哈希

  • 用质数表作为哈希函数

  • 换根大法好，用于无根树树哈希

  • 也可以以重心为根进行树哈希，只需要做1或2次

void Dfs(int x){
	si[x] = 1;
    hsh[x] = 1;
	for(auto i : e[x]){
		Dfs(i);
		si[x] += si[i];
		hsh[x] += hsh[i] * prime[si[i] - 1];
	}
}

//换根
void Dfs2(int x){
	for(auto i : e[x]){
		f[i] = (f[x] - hsh[i] *  prime[si[i] - 1]) * prime[n - si[i] - 1] + hsh[i];
		Dfs2(i);
	}
}

P5043 【模板】树同构（[BJOI2015]树的同构）

# include <bits/stdc++.h>
# define int long long
using namespace std;
const int MOD = 998244353;
const int N = 1000 + 10;

int m;
int n, fa, si[N];
unsigned int hsh[N], f[N];
vector <int> e[N];
vector <unsigned int> temp;
map <vector <unsigned int>, int> rec;

bool p[N];
vector <int> prime;
void Euler(){
	int k = 1000;
	for(int i = 2; i <= k; i++){
		if(p[i] == 0){
			prime.push_back(i);
		}
		for(auto j : prime){
			if(i * j > k){
				break;
			}
			p[i * j] = 0;
			if(i % j == 0){
				break;
			}
		}
	}
}

void Dfs(int x){
	si[x] = 1;
	for(auto i : e[x]){
		Dfs(i);
		si[x] += si[i];
		hsh[x] += hsh[i] * prime[si[i] - 1];
	}
}

void Dfs2(int x){
	for(auto i : e[x]){
		f[i] = (f[x] - hsh[i] *  prime[si[i] - 1]) * prime[n - si[i] - 1] + hsh[i];
		Dfs2(i);
	}
}

signed main(){
//	freopen("1.in", "r", stdin);
	Euler();
	cin >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		int rt = 0;
		cin >> n;
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			hsh[j] = 1, f[j] = 0, si[j] = 0;
			e[j].clear();
		}
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			cin >> fa;
			if(fa == 0){
				rt = j;
			}else{
				e[fa].push_back(j);
			}
		}
		Dfs(rt);
		f[rt] = hsh[rt];
		Dfs2(rt);
		
		temp.clear();
		sort(f + 1, f + 1 + n);
		for(int j = 1; j <= n; j++){
			temp.push_back(f[j]);
		}
		if(rec[temp] == 0){
			rec[temp] = i;
		}
		cout << rec[temp] << "\n";
	}
}