P11068 解题报告

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题目大意：

给定一个有向无环图，每次操作可以选择一个入度为 \(0\) 的点 \(x\) 和一个出度为 \(0\) 的点 \(y\)，将 \(x\) 的所有出边全删去，然后新加一条有向边 \((y, x)\)。

现在需要将所有的点的入度、出度都小于等于 \(1\)，给出一个总步数不超过 \(n\) 的操作方案。

思路：

从题目条件入手，有向无环图这个条件就十分重要，因为我们都知道 DAG 是有拓扑序的，恰好题目中又提到了度数这一概念，那不妨往这方面想。

我们设入度为 \(0\) 点是 \(1\) 类点，出度为 \(0\) 的点是 \(2\) 类点。

那么构造方案就很显然了：先对原图跑一遍拓扑排序，将排序结果用队列存储下来，队首一定是 \(1\) 类点，队尾一定是 \(2\) 类点，选取这两个点操作，将此队头直接赋给队尾，然后弹掉队头，直到队中只剩下一个元素，这时一定是符合题目要求的。

为什么一定满足题目要求呢？

因为原图存在拓扑序，所以在 \(1\) 类点被用完前或刚被用完时一定会产生新的 \(1\) 类点，而 \(2\) 类点可由 \(1\) 号点供给，所以可以一直进行这种操作，知道每个点都参与操作。原理同拓扑排序非常相似，又因为每次操作完后都是符合题意的，所以最后每个点都符合题意，而且只会操作 \(n - 1\) 次。

可以自己建个图，跑个拓扑排序模拟一下。

建图工具

\(\texttt{Code:}\)

#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 500010;
typedef pair<int, int> PII;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int in_deg[N], out_deg[N];
PII ans[N];
int q[N], hh, tt = -1;

inline void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int a, b;
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        in_deg[b]++, out_deg[a]++;
        add(a, b);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(!in_deg[i]) q[++tt] = i;
    while(hh <= tt) {
        int t = q[hh++];
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            in_deg[j]--;
            if(!in_deg[j]) q[++tt] = j;
        }
    }
    hh = 0;
    int step = 0;
    while(hh < tt) {
        int x = q[hh++], y = q[tt];
        ans[++step] = {x, y};
        q[tt] = x;
    }
    printf("%d\n", step);
    for(int i = 1; i <= step; i++)
        printf("%d %d\n", ans[i].first, ans[i].second);
    return 0;
}