图论的一些知识

• tarjan 算法
• 虚树
• DAG 剖分
• 矩阵树定理
• 最小树形图 （ ）
• 斯坦纳树 （感觉可以看看？）
• 同余最短路
• 平面图 and 对偶图
• 线性规划
• 网络流
• 一般图最大匹配 （ ）
• Prüfer 序列
• 竞赛图
• 稳定婚姻问题
• 2-sat
• 仙人掌
• Dilworth 定理 （ ）
• 三/四元环计数 \(O(n \sqrt n)\)
• LGV ？

tarjan 算法

有向图 \(\to\) 强连通分量

无向图 \(\to\) 广义圆方树

一些性质：

• 点双中任意两个点之间都存在至少两条不相交的路径 （除去起点和终点）。

虚树

关于虚树的几种方法：

• 求虚树的点数 （点数） \(\to\) 每两个点的 $\operatorname {lca} $ 所构成的集合大小
• 求虚树的边数：

1. 按照 dfs 序排序之后相邻两项的距离之和（包括第一项和最后一项）再除以 \(2\)。
2. 子树中至少包含一个点的点数减去 \(lca\) 的祖先个数。

DAG 剖分

要求总路径数不是很大 （一般配合 SAM 求第 \(k\) 大字串）。

每个点指向路径数最大的一条边，称为重边，这样一条路径最多跳 \(\log\) 条轻边。

可以用倍增做到 $\log ^2 $ 。类似的情况可以使用可持久化平衡树。保证合并复杂度 \(O(\log)\)。

矩阵树定理

有部分拓展

同余最短路

一般在值域较小的背包问题中使用，求最短路时直接转两圈就完了。

平面图 and 对偶图

部分例题

就是个板子

线性规划

一些题？

也是个板子

网络流

部分模型：

• 有若干个值为 \(a_i\) 的 \(0/1\) 变量 代价必须形如：
  \( \begin{cases} a_i \times c \\ (1-a_i) \times c \\ a_i \times (1-a_j) \times c \end{cases} \)

• 边的代价随流量的变大而变大

• 模拟费用流

• 转对偶图后的类似于欧拉回路的建图

一般图最大匹配

带花树：？

Prüfer 序列

• 广义 Prüfer 序列

竞赛图

缩点后一定是一条链。

• $O(n) 求强连通分量大小 $
• 找一条哈密顿回路 / 通路
• \(n\) 较小时的枚举多少个点集没有出边

稳定婚姻问题

就用过一次

2-sat

主要是建模

仙人掌

板子，但不常用。

Dilworth 定理

支配树？