「2019 集训队互测 Day 3」操作序列计数 题解

简化题意：对于每一个 \(L\)，求出有多少个长度为 \(L+1\) 的非负整数序列 \(a\)，满足 \(\sum_{i=0}^{L} a_i k^i \leq n\)，并且 \(a_{L}>0\)。

我们注意题目要求的和是小于等于一个数，这不太方便。我们可以把它转化成和等于一个数的形式，其实就是和为 \(nk\) 的方案数，这就相当于在最后的和后面乘上一个 \(k\)，再一直加一使得最终的值为 \(nk\) 。容易发现这是一一对应的，最后的 \(L\) 只需在原来基础上减一即可。于是我们现在只需要求 \(\sum_{i=0}^{L} a_i k^i = n\) 的方案数。

在这个基础上，有两种不同的思考方式：

解法1

我们可以考虑把 \(n\) 写成 \(k\) 进制的形式，因为最后的 \(a_i\) 可能 \(\geq k\) ，于是就考虑从高位往低位不断退位，计算退位的方案数，需要满足 \(L\) 的高位都为 \(0\)，第 \(L\) 位不为 \(0\)。所以可以先把 \(L\) 的高位先退到第 \(L\) 位。再从第 \(L\) 位开始从高到低依次退位。

我们记录 \(f_{i,x}\) 表示第 \(i\) 位当前的值为 \(x\)，往后退位直到第 \(0\) 位的方案数。\(g_{i,x}\) 表示第 \(i+1\) 位相第 \(i\) 位退了 \(x\) 位 (注意是第 \(i\) 位得到了 \(x\) )，往后退位直到第 \(0\) 位的方案数。

容易写出转移：

• \(f_{i,x}= \sum_{j=0}^x g_{i-1,jk}\)
• $g_{i,x}= f_{i,x+c_i} $ ( \(c_i\) 表示 \(n\) 写成 \(k\) 进制下的第 \(i\) 位)

初值 ：\(f_{0,i}=1\)， \(g_{0,i}=1\)

对于答案，你可以从低到高枚举每一位。当前是第 \(i\) 位，\(c_i=n \bmod k\) ，那么 \(ans_{i-1} = f_{i,n-1}\) ，注意是 \(n-1\) 因为第 \(i\) 位不能全退了，最后 \(n\) 再除以 \(k\)。这样就只需要 \(\log_k^n\) 的扫一遍即可。

考虑如何求 \(f\) 和 \(g\) ，第二维可能很大，没法直接存，但我们发现 \(f_{i,x}\) 和 \(g_{i,x}\) 是一个关于 \(x\) 的 \(i\) 次多项式，运用归纳法可以轻松证明。类似于 \(\sum_{i=0}^x i^k\) 是 \(k+1\) 次多项式的证明。

于是我们便可以通过拉格朗日插值求出 \(f_i\) 和 \(g_i\) ，因为 \(f\) 和 \(g\) 只是 \(x\) 的加减，所以只需要记录 \(f\) 即可。而这道题需要高精，复杂度瓶颈在高精乘 ，总复杂度为 \(O((log_k^n)^3)\) 再乘上高精乘的复杂度。

另外，本题只需要高精除低精，插值时前缀和后缀都是一个组合数的形式，可以参考 代码。

解法2

有一种不需要插值的做法，但复杂度较高。

就是根据 \(\sum_{i=0}^{L} a_i k^i = n\)，我们再把 \(a_i\) 写成 \(k\) 进制的形式。设 \(n\) 写成 \(k\) 进制的最高位为 \(m\)。

\(\sum_{i=0}^L k^i\sum_{j=0}^m b_{i,j} k^j = n\)

\(b_{i,j}\) 表示把 \(a_i\) 写成 \(k\) 进制下的第 \(j\) 位。

\(\sum_{i=0}^L \sum_{j=0}^m b_{i,j} k^{i+j} = n\)

我们先枚举 \(i+j\) ，设为 \(d\)，推出：

\(\sum_{d=0}^m k^d \sum_{i=0}^{\min(L,d)} b_{i,d-i}= n\)

我们注意 $b_{i,j} < k $ ，记 \(f_d\) 为 \(\sum_{i=0}^{\min(L,d)} b_{i,d-i}\)，那么 \(f_d \leq (k-1) \times (\min(L,d)+1)\) 。

于是方案数就是，先枚举所有的序列 \(f\) ,再枚举 \(d\) ,把 \(f_d\) 个球放到 \(\min(L,d)+1\) 个盒子，每个盒子小于 \(k\) 个的方案数。这可以直接组合数预处理。

那么因为 \(f_i\) 的值域很小，就可以直接 DP 了。这就是一个经典的数位 DP 问题，\(f_{i,j}\) 表示考虑了 \(0 \sim i\) 位，第 \(i\) 位的值为 \(j\) 的方案数。\(j\) 的范围只有 \(k \times \log_k^n\) 级别，所以直接转移即可。复杂度 \(O((\log_k^n)^4)\) 再乘上高精乘的复杂度，比第一种做法好写很多。