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随笔分类 -  数值代数

线性方程组的古典迭代解法
摘要：单步线性定常迭代法 Jacobi 迭代法 考虑非奇异线性方程组 \(Ax = b\) ，令 \[ A = D - L - U,\quad D = \mathrm{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}) \] 其中 \(L,U\) 分别为对角线为 \(0\) 的下三角阵和 阅读全文
posted @ 2022-03-06 23:46 Bluemultipl 阅读(689) 评论(0) 推荐(0)
对称特征值问题的计算方法
摘要：基本性质 定理 7.1.1 （谱分解定理） 若 \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) 是对称的，则存在正交阵 \(Q\) 使得 \[ Q^TAQ = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) \] 定理 7.1.2 阅读全文
posted @ 2022-02-19 20:16 Bluemultipl 阅读(1698) 评论(0) 推荐(1)
非对称特征值问题的计算方法
摘要：首先简单介绍几个预备知识： 多项式 \(p_A(\lambda) = \det(\lambda I-A)\) 称为 \(A\) 的特征多项式，记 \(\lambda(A)\) 为 \(A\) 的特征值全体，通常称之为 \(A\) 的谱集；假定 \(p_A(\lambda)\) 有分解 \[ p_A( 阅读全文
posted @ 2022-02-19 20:07 Bluemultipl 阅读(1665) 评论(0) 推荐(0)
共轭梯度法
摘要：最速下降法 考虑线性方程组 \(Ax=b\) ，其中 \(A\) 是对称正定阵，定义二次泛函 \[ \varphi(x) = x^TAx - 2b^Tx \] 定理 5.1.1 设 \(A\) 对称正定，则 \(Ax=b\) 的解等价于二次泛函 \(\varphi(x)\) 的极小值点. 证明 事实 阅读全文
posted @ 2022-02-19 19:59 Bluemultipl 阅读(862) 评论(0) 推荐(0)
最小二乘问题的解法
摘要：最小二乘问题 定义 3.1.1 给定矩阵 \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) 及向量 \(b\in\mathbb{R}^m\) ，确定 \(x\in\mathbb{R}^n\) ，使得 \[ \|b-Ax\|_2 = \|r(x)\|_2 = \min_{y\in\math 阅读全文
posted @ 2022-02-19 19:56 Bluemultipl 阅读(1575) 评论(0) 推荐(0)
线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析
摘要：向量范数和矩阵范数 向量范数 定义 2.1.1 非负函数 \(\|\cdot\|:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) 称为 \(\mathbb{R}^n\) 上的向量范数，如果有 正定性： \(\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \|x\|\ge 0\) ，等号 阅读全文
posted @ 2022-02-19 19:52 Bluemultipl 阅读(1369) 评论(0) 推荐(0)
线性方程组的直接解法
摘要：从这一章开始是数值代数课程的笔记，使用的教材是徐树方、高立、张平文编著的《数值线性代数》。 三角形方程组和三角分解 前代法 求解下三角形方程组 \[ Ly = b \] 其中 \(b=(b_1,\cdots,b_n)^T\in\mathbb{R}^n\) 已知， \(y=(y_1,\cdots,y_ 阅读全文
posted @ 2022-02-19 19:45 Bluemultipl 阅读(373) 评论(0) 推荐(0)