“两”个证明

今天在高代课上听到一个很好的比喻，在此记录一下。

我们可以把人类的知识比喻成一个单联通的知识空间，两个点之间的一条道路就是一个证明。
在人们眼中，一些证明是“相似的”，是因为这两条道路离得很近。
人们也可以通过道路的“连续变换”发现两种证明的相似性。
然而有两个证明，人们很难发现他们的关系，他们之间隔了座高楼。

一些人有敏锐的洞察力，他们从A点出发，选择爬上高楼，再从楼上下来，走到了B。这样一来，两个道路就有了同伦关系。

人们的理解能力是有限的。也许在上帝的眼中，一个定理的任意两种证明都是相同的（在知识空间是定端同伦的）。也许在上帝视角下，知识空间的基本群是平凡群。
但在人们眼中，那些道路却坑坑洼洼。甚至在人们眼中，知识空间是是好多个单联通的子集。人们还没发现他们之间的道路。

这正是我们要研究“两种证明”相似性的原因。也许我们能发现这两条道路之间的高楼，发现这块从未开辟过的空间。我们就离“上帝视角”更近了。