求知随笔
37、证明：有限除环必为域。（Wedderburn [1905]）
关键词：类方程，分圆多项式
来源：GTM242 Theorem 6.6
36、用 smith 标准型证明有限 abel 群结构定理。
关键词：PID上有限生成模结构定理
35、$A,B$ 为 $n$ 阶实矩阵，若 $AB=BA=0$，并且 $rank(A^2)=rank(A)$，证明：
$$rank(A+B)=rank(A)+rank(B)$$
34、证明：非阿贝尔单群的最小阶数为 $60$，且 $60$ 阶群必同构于 $A_5$。
关键词：sylow定理
33、证明：若群 $G$ 是阶为 $p^r\cdot n$ 的有限群，其中 $p$ 为素数，那么一定存在阶为 $p^r$ 的子群。且任意两个 sylow p-群共轭。
关键词：sylow定理；群作用或归纳法
参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/30928143
32、证明：在有心力问题中，对于所有被束缚的质点来讲，只有遵循平方反比律和胡克定律的两种有心力才能给出闭合轨道。
关键词：伯特兰定理（Bertrand's theorem）；引入高阶扰动
参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem
31、推导卢瑟福散射截面公式：
$$ \sigma(\Theta) = \frac{1}{4} (\frac{ZZ'e^2}{2E})^2csc^4(\frac{\Theta}{2}) $$
来源：《经典力学 Goldstein》3-10 有心力场中的散射
30、对于素数 $p$ 和正整数 $s \geq 2$，考虑图 $ProjNormGraph_{p,s}=G(V,E)$，其中 $V=\mathbb{F}_{p^{s-1}} \times \mathbb{F}_{p}^{\times}$。此时 $n = (p-1)p^{s-1}$。对于点$(X,x)$ 和 $(Y,y)$，连接这两点间有边当且仅当
$$ N(X+Y)=xy $$
其中映射 $N:\mathbb{F}_{p^{s-1}} \rightarrow \mathbb{F}_{p}^{\times}$ 按如下法则定义：
$$ N(x)=x^{\frac{p^{s-1}-1}{p-1}} $$
证明：
$|E|=(\frac{1}{2}-o(1))n^{2-1/s}$，且图 $ProjNormGraph_{p,s}$ 中不包含 $K_{s,(s-1)!+1}$ 作为子图。
29、证明 Ramsey 数的几个估计：
$$ R(k,k) > \frac{\sqrt{2}}{e}(1+o(1))k 2^{\frac{k}{2}} \\ R(3,k) \leq c1 \cdot \frac{k^2}{\ln(k)}$$
其中 $R(a,b)$ 表示最小的 $n$，使得对一张 $n$ 个点的完全图的边任意进行黑白染色，总是存在一个 $a$ 个点的黑色完全图或一个 $b$ 个点的白色完全图。
关键词：Lovasz local lemma
28、证明：迹为 $0$ 的 $n\times n$ 实矩阵 $S$，一定可以表示为 $AB-BA$， 其中 $A,\ B$ 为 $n\times n$ 实矩阵。
来源：https://arxiv.org/pdf/1211.6872.pdf
27、证明尺规作图不能三等分角。
关键词：galois理论
26、令 $a_1, \cdots, a_n$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中长度至少为 $1$ 的向量，$R_1, \cdots, R_k$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的 $k$ 个开区域，对于位于同一个区域 $R_i$ 中的任何 $\boldsymbol x, \boldsymbol y$，都有 $|\boldsymbol x-\boldsymbol y| < 2$。那么在这些区域的并 $\bigcap_i R_i$ 中的线性组合 $\sum_{i=1}^{n} \epsilon_i \boldsymbol a_i, \epsilon_i \in \{1,-1\}$ 的个数，至多是 $k$ 个最大的二项式系数 $n \choose j$的和。
特别地，当 $k=1$，就得到界 ${n \choose \lfloor n/2 \rfloor }$ 。
关键词：归纳
来源：《数学天书中的证明(第五版)》24章
25、资源分享：《一个数学家的辩白》（哈代）
链接：https://pan.baidu.com/s/1aP6OkM-2uUDhV8XgHxMW7g 提取码：ump2
24、一个长的导电圆柱沿轴的方向劈成两半并保持其电势为 $V_0$ 与 $0$。整个系统中静电荷为零。计算空间电势的分布。
关键词：
方法一：保角变换
方法二：解拉普拉斯方程
23、求扁旋转椭球面形导体的电容。已知旋转椭球面方程为
$$
\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2+z^2}{a^2}=1
$$
式中，常数 $a,b$ 满足 $a>b，a^2=b^2+f^2$
关键词：
方法一：椭球坐标系解拉普拉斯方程
方法二：类比，极限思想，见《物理学大题典·电磁学与电动力学》1.53
22、设平面电磁波垂直入射到一金属圆柱面上。若电磁波的频率一定，其电矢量与柱轴平行，求被柱面散射的电磁波。
来源：《数学物理方法》(吴崇试) 17.6
关键词：Bessel 方程, Hankel 函数。
21、无限大正方形网格，每条边电阻为r，求(0,0)到(n,m)的等效电阻大小。
关键词：二维傅立叶变换
20、codeforces gym102268 E https://codeforces.com/gym/102268/problem/E
关键词：
方法一：解稀疏线性方程组 from 钟子谦. 两类递推数列的性质和应用, IOI2019 中国国家候选队论文集
方法二：稀疏图上的随机游走 from 王修涵. 浅谈图模型上的随机游走问题. IOI2019 中国国家候选队论文集,
19、 设 $n$ 为偶数，求 $$ \zeta(n) = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{1}{i^n} $$
关键词：
方法一：傅里叶分析。方法二：留数法。
多种解法整理：https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/13370162.html
18、1. 在长为 $L$ 、高为 $H$ 的矩形区域内，求解拉普拉斯方程：
$$
\begin{aligned}
PDE&:\ \nabla^2 u \ = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \ = 0
\\BC1&:\ u(0,y)\ =g_1(y)
\\BC2&:\ u(L,y)\ =g_2(y)
\\BC3&:\ u(x,0)\ =f_1(x)
\\BC3&:\ u(x,H)\ =f_2(x)
\end{aligned}
$$
2. 在半径为 $a$ 的圆域内，求解拉普拉斯方程：
$$
\begin{aligned}
PDE&:\ \nabla^2 u \ = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} =0
\\BC&:\ u(a,\theta)\ =f(\theta)
\end{aligned}
$$
来源：《实用偏微分方程》(Richard Haberman) 2.5
17、给出以下两个定理的双射证明：
$$
\begin{aligned}
&\prod_{k\ge 1}(1+x^k)=\prod_{j\ge 1}\frac{1}{1-x^{2j-1}} \\&\prod_{k\ge 1}(1-x^k)=1+\sum_{j\ge 1}(-1)^j\left(x^{\frac{3j^2-j}{2}}-x^{\frac{3j^2+j}{2}}\right)
\end{aligned}
$$
来源：《Proofs from THE BOOK》第五版 第33章。
关键词：五边形数定理。
16、求：
$$
\int _0^1 \frac{ 1-ln(1-x+x^2) } { (1-x+x^2)^2 }dx
$$
来源：https://tieba.baidu.com/p/6560056213
15、求：
$$
\int _0^{\infty}\frac{sin(2cos^2x)cosh(sin2x)}{1+x^2}dx
$$
来源：http://tieba.baidu.com/p/6555395541
关键词：泰勒展开，拉普拉斯变换。
14、求证：
$$
\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{2}-FresnelS(x)\right)\ln(x)dx=-\frac{2+\gamma+\ln(\frac{\pi}{2})}{2\pi}
$$
其中 $FresnelS(x)=\int_0^x sin(\frac{\pi t^2}{2})dt$，$\gamma$ 是欧拉常数。
来源：http://tieba.baidu.com/p/6553129773
关键词：Mellin变换。
13、$x_1,\ x_2,\ ...,\ x_m$ 为 $m$ 个互不相同的实数，$n>m-1$ 且为正整数，求 $$\sum_{i=1}^{i\le m} \frac{x_i^n}{ \prod_{j\not=i}(x_i-x_j) }$$
关键词：拉格朗日插值 或 特征多项式。
12、codeforces 947E https://codeforces.com/problemset/problem/947/E
关键词：矩阵对角化。
11、codechef MARCH13 CHANGE http://www.codechef.com/MARCH13/problems/CHANGE
10、codeforces gym102129 G https://codeforces.com/gym/102129/problem/G
关键词：$\mathcal{O}(n^2)$ 做法：结式，消元。
$\mathcal{O}(n \log n)$ 做法：循环矩阵，Bluestein's algorithm。
9、$(\frac{d}{p})$ 为 $Legendre$ 符号。证明：若 $p$ 和 $q$ 为奇素数，则 $(\frac{q}{p})\cdot (\frac{p}{q}) = (-1)^{(p-1)/2\cdot (q-1)/2}$
关键词：Gauss 二次互反律。
8、求 $n$ 维空间内单位球体的体积。（两种求法）
关键词：极坐标变换 or 利用空间角。
7、证明：当 $m \ge 1$，必有一素数 $p$ 满足 $m < p \le 2m$。
关键词：Bertrand 假设。
6、$a,\ b$是大于 $1$ 的正整数，若对任意正整数 $n$，满足 $a^n-1|b^n-1$，求证 $b=a^k$ （$k$为某一正整数）。
关键词：最大根方法。
解法来源：最大根方法——一段往事 - 聂子佩的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/37061170
5、$p$ 为奇素数，$p-1|m$，证明 $\sum_{i \ge 0} {m \choose i\cdot (p-1)} \equiv 2+p(m+1)\ \ (\mod p^2)$。
关键词：单位根反演。
4、$a_0=2,\ a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$，则若 $p|a_n,\ p≠2,3$, 且$p$为质数，那么 $2^{n+3}|p^2-1$。
关键词：模意义下无理数。
3、对于一张任意图，若奇圈数 $ \le 2015$，那么该图可对节点 $11$ 染色。
2、对于一张任意图 $< V，E>$，存在一个点集 $S$ 属于 $V$，满足 $V$ 中的每个点都有奇数个邻居（包括自己）在 $S$ 中。
关键词：
证法一：线性代数。证法二：归纳（两种归纳证法）。
1、求 $3^x-5^y=2$ 的所有正整数解。
来源：《初等数论》(潘承洞，潘承彪) 第七章。
关键词：Pell 方程。
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%AF%E7%89%B9%E8%98%AD%E5%AE%9A%E7%90%86
