浅谈最小生成树

浅谈最小生成树

            ———\(\rm BiuBiu\_Miku\)

1.一些概念

  · 树：在一个图中，满足边数等于点数减一的条件。（如图1所示）

  · 生成树：在一个连通图中，截取一个子图，此子图满足树的性质，且通过每一个节点的树称为生成树。(如图2所示)

  · 最小生成树：在一个包含 \(n\) 个节点的加权连通图中，所有边的边权之和最小的树，且通过每一个节点的树，即为最小生成树。（如图3所示）

2.例题引入（题皆出自洛谷）

【模板】最小生成树

题目描述

  给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 \(orz\)。

输入格式

  第一行包含两个整数 \(N,M\)，表示该图共有 \(N\) 个结点和 \(M\) 条无向边。
  接下来 \(M\) 行每行包含三个整数 \(X_i,Y_i,Z_i\) 表示有一条长度为 \(Z_i\) 的无向边连接结点 \(X_i,Y_i\) 。

输出格式

   如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 \(orz\)。

输入输出样例

输入

4 5
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 4
3 4 3

输出

7

3.算法实现

   关于算法的实现一般有两种算法，第一种称为 \(Kruskal\) ，第二种称为 \(Prim\)

   实现方法一.\(Kruskal\) 时间复杂度 \(O( MlogM )\) （\(M\)为边数）

     \(Kruskal\) 是一种利用并查集来实现最小生成树的办法，其算法流程大致为。

     先将读进来的边按照边权排序，然后利用并查集建立关系，一但发现如果两个点不存在关系，那么就建这条边，不然的话就不建，最后把建了边的边权统计起来就好了。

     为什么这样就可以找到最小生成树呢？因为我们已经将边权排序过了，也就是说越前面的边他的边权就越小，因此我们就可以直接通过简单的步骤得到最小生成树了！

     以上面的题目的样例来做例子，来模拟一下该算法全过程：

      1.排序，排序后得到以下的数据

1 2 2
1 3 2
1 4 3
3 4 3
2 3 4

      2.发现 \(1\) 到 \(2\) 不连通，于是建边，如下图所示：

      

      3.发现 \(1\) 到 \(3\) 不连通，于是建边，如下图所示：

      

      4.发现 \(1\) 到 \(4\) 不连通，于是建边，如下图所示：

      

      5.发现 \(3\) 到 \(4\) 已经连通，于是不建边。

      6.发现 \(2\) 到 \(3\) 已经联通，于是不建边。

      7.经统计，一共建的边的边权之和为 \(7\) 于是就输出 \(7\) 。

     \(Code：\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[200005],m;
struct edge{
	int a,b,lo;
}E[200005];	//边 
int n,ans;
bool cmp(edge x,edge y){return x.lo<y.lo;} //排序 
int getfather(int k){ //并查集 
	if(f[k]==k)return k;
	return f[k]=getfather(f[k]);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&E[i].a,&E[i].b,&E[i].lo);
	sort(E+1,E+1+m,cmp); //排序 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(getfather(E[i].a)!=getfather(E[i].b)){	//判断两个点是否连通 
			ans+=E[i].lo;	//若不连通建边 
			f[getfather(E[i].a)]=getfather(E[i].b);
			n--;	//减掉一个未连通点 
		}
		if(n==1){	//若全部连通就输出答案 
        	printf("%d\n",ans);
			return 0;
		}
	}
	printf("orz\n");	//否则输出orz 
	return 0;
} 

   实现方法二.\(Prim\) （时间复杂度根据不同情况，不同计算）

     \(Prim\) 是一种利用不断寻找最小值来实现找到最小生成树的方法。

     具体来说就是以某一个点为起点(一般选择节点 \(1\) 为起点)，寻找能走的边中边权（代价）最小的边，再将此点收入囊中，也就是看做是一段子图。

     然后更新能走的边所花费的代价，因为当我加入一个节点后，该节点也可以通到别的点，而且从此新节点出发走原来可以走的边，可能存在更小代价.

    例如：若此时 \(A\) 已经与 \(B\) 已经连接，\(A\) 到 \(C\) 代价为 \(3\) ， \(B\) 存在一条边到 \(C\) 的代价为 \(1\) ，那么此时就可以更新当前可以走的边。

     以上面的题目的样例来做例子，来模拟一下\(Prim\) 算法全过程：

      1.选择节点 \(1\) 为起点，并发现当前 \(1\) 到 \(2\) 和 \(1\) 到 \(3\) 都是当前能走的边中边权最小的，于是任意走一条即可（这里选择走 \(1\) 到 \(2\) ），如下图所示。

      

      2.当前能走的边中发现 \(1\) 到 \(3\) 是边权最小的边，于是走此边，如下图所示。

      

      3.当前能走的边中，发现当前 \(1\) 到 \(4\) 和 \(3\) 到 \(4\) 都是当前能走的边中边权最小的，于是任意走一条即可（这里选择走 \(1\) 到 \(4\) ），如下图所示。

      

      4.找到最小生成树，经统计，走过的边权总和为 \(7\) 于是输出 \(7\)。

     \(Code：\) (这里用邻接矩阵存图，复杂度为 \(O(N^2)\) N表示点的数量 )

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,mmin=INT_MAX,dis[200005],ans,w[5005][5005],walk,m;	
bool vis[200005];	//vis表示该边是否被访问过 
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			w[i][j]=1e9;		//矩阵初始化 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		w[a][b]=min(c,w[a][b]);
		w[b][a]=min(c,w[b][a]); 	//邻接矩阵存图 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=w[1][i];	//初始化从起点开始能到达的边，能到达就赋值走到该点要付出的代价，否则为1e9 
	dis[1]=0;
	vis[1]=true;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		mmin=1e9;				
		for(int j=2;j<=n;j++)
			if(dis[j]<mmin&&!vis[j]){	//找到当前所有能走的边的最小值 
				mmin=dis[j];
				walk=j;
			}
		ans+=mmin;			//走这条边 
		vis[walk]=true;		//标记已经走过 
		for(int j=2;j<=n;j++)if(!vis[j])dis[j]=min(dis[j],w[walk][j]); //更新能走的边花费的价值 
	} 
	printf("%d\n",ans); 
	return 0; 
} 

4.题目推荐

  [USACO05MAR]Out of Hay S：相当于模板（双倍经验，岂不美哉）。
  [USACO3.1]最短网络 Agri-Net：本题用 \(for\) 建边后跑流程即可。
  公路修建：本题要运用两点之间的距离公式 \(\sqrt{( x_1 - x_2 )^2+( y_1 - y_2 )^2}\) 来计算边权，然后跑流程就好了，本题推荐使用 \(Prim\) 来实现。

  \(PS\) ：以上题目适合初学者食用。

5.结语

  以上便是此博客的全部内容，其主要适用于没学过最小生成树的人食用，有什么写得不好也欢迎大佬在评论区指出，感谢大佬的阅读。