浅谈高中生物”碱基对确定,求DNA最多种数”问题

前言

这个问题在高中生物中,并不会研究的那么深刻。

所以正式做题时还是应该按照老师的教导,避开这个“雷区”。

1.问题发现

在高中生物-遗传与进化-基因的本质学习中,有一个十分经典的问题。

即:给定碱基对数n,不限定每种碱基(A,C,G,T)的个数,求出最多的DNA种数。

在所有的教材,辅导书,以及老师的授课过程中,对于这个问题的答案,一般都是\(4^{n}\)或者$ \frac {4^n} {2}$。

对于\(4^n\)的思路,即每个位置有\(4\)种碱基对可能,一共有\(n\)组,根据乘法原理,故为\(4^{n}\)

对于\(\frac {4^n} {2}\)的思路,即在上一种思路的基础上,考虑到有重复的情况,便除了个2​。

但是,@thorn,@opethrax以及本人的对于这些答案深感怀疑,于是我们便手算了当碱基对数为\(2\)时的所有情况。

利用计算机程序进行打表,以及查询有关\(DNA\)的资料后,最终我们确定当n=2时,结果理应为10​。

这个答案都不能用上面的公式解答,于是我们继续思考探索。

2.深入探究

通过@opethrax同学辛苦的打表,观察,他发现存在一些情况被忽略。

原先我们认为,一个\(DNA\)分子拥有\(3'\)\(5'\)段,\(3\)代表三号碳,\(5\)代表五号碳。

如下图,从两条链的\(3'\)端分别扫描,一种序列最多被统计到\(2\)次。

图一

一个是AGCTA​,另一种是TAGCT。

但是,存在一种\(DNA\)分子,从其两条链的\(3'\)端分别扫描,结果相同。

如下图:

都为TCGATCGA。

所以这种情况下,具有这种性质的\(DNA\)会被少统计一次。

且我们不难发现,满足这种性质当且仅当\(DNA\)链的长度为偶数(如图一,若为奇数,会出现不对称的情况,即不满足这种性质)。

那么我们分类讨论,之前那个\(\frac {4^n} {2}\)的公式,可以在n​为奇数时使用。

对于n​为偶数的情况,我们要在原公式的基础上,加上少统计的个数。

现在的问题,即是寻找拥有这种特殊性质的链的个数。

不难发现,一条链的\(3'\)端的\(1\)号碱基到该链的第\(\frac n 2\)号碱基,如果和另一条链的\(3'\)端的\(1\)号碱基到该链的第\(\frac n 2\)号碱基相同,剩下的部分通过碱基互补配对原则,可以保证相同。

下图黑的部分是我们自己确定的一条排列,红色部分是根据碱基互补配对原则形成的。

我们可以把这个理解为一种中心对称。

所以我们只需要构造出一条链中一半的排列,然后按照中心对称放到另一条链的\(3'\)端,剩下那条按照碱基互补配对原则填充即可满足这种性质。

所以我们不难得出,这种情况下,会有\(4^{\frac {n}{2}}\)条链会被少统计一次。

至此,我们可以得出公式:

\[a_n=\begin{cases}\frac{4^n}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ n=2k+1\\\frac{4^n+4^{\frac{n}{2}}}{2}\ n=2k\ \ (k\in N^*)\end{cases} \]

这个式子经过打表以及oeis.org的确认,结果正确。

3.声明与感谢

其实\(DNA\)的结构远比人类脑海中想象的要复杂的多,这里我们只是讨论了理论下的情况。

感谢您的阅读。若您存在任何疑问,或觉得我们有些地方存在纰漏,欢迎您联系我们,我们十分乐意与您探讨。

再次感谢两位同学@thorn,@opethrax深夜的探讨与陪伴,若没有他们的帮助,我们很难单独进行下去。

thorn有关这篇文章的链接:https://www.cnblogs.com/thornblog/p/12381381.html

opethrax有关这篇文章的链接:https://home.cnblogs.com/u/opethrax/

他们两位有关这个内容的博客写的都非常优秀,建议您去访问他们的博客以进行更多的了解。

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4.深夜随想

造物主强大的力量是人们无法想象到的。人类很难走到没有任何疑惑的那一天。

每一个个体脑中冒出的新奇想法,或提出的一个问题,都有可能成为筑起人类从无知到有知的桥梁下的一粒石子。

对科学的探索,不是浅尝辄止,而是无穷无尽。

献上一首不错的音乐:

“生于此处却不知此处

日光倾城,万物生长,又是为何

若没有大地的拥抱,我们早已消失于茫茫宇宙之中

若没有原子之稳定,我们亦不复存在

无人问天地变换,斗转星移,是为何故

宇宙又是源于何处

它是否无始无终

时间若愿意倒流,我们的认知是否还会有局限

世间最渺小之物又是什么

滚滚长江,却只留有过去,不知未来

浩淼宇宙,为何我们在此相遇”
——《Moonlight》

posted @ 2020-02-29 03:59  BeyondLimits  阅读(498)  评论(4编辑  收藏  举报