【机器学习】逻辑回归(Logistic Regression)

:最近开始学习《人工智能》选修课,老师提纲挈领的介绍了一番,听完课只了解了个大概,剩下的细节只能自己继续摸索。

从本质上讲:机器学习就是一个模型对外界的刺激(训练样本)做出反应,趋利避害(评价标准)。

 

1. 什么是逻辑回归?


许多人对线性回归都比较熟悉,但知道逻辑回归的人可能就要少的多。从大的类别上来说,逻辑回归是一种有监督的统计学习方法,主要用于对样本进行分类。

在线性回归模型中,输出一般是连续的,例如$$y = f(x) = ax + b$$,对于每一个输入的x,都有一个对应的y输出。模型的定义域和值域都可以是[-∞, +∞]。但是对于逻辑回归,输入可以是连续的[-∞, +∞],但输出一般是离散的,即只有有限多个输出值。例如,其值域可以只有两个值{0, 1},这两个值可以表示对样本的某种分类,高/低、患病/健康、阴性/阳性等,这就是最常见的二分类逻辑回归。因此,从整体上来说,通过逻辑回归模型,我们将在整个实数范围上的x映射到了有限个点上,这样就实现了对x的分类。因为每次拿过来一个x,经过逻辑回归分析,就可以将它归入某一类y中。

 

逻辑回归与线性回归的关系

逻辑回归也被称为广义线性回归模型,它与线性回归模型的形式基本上相同,都具有 ax+b,其中a和b是待求参数,其区别在于他们的因变量不同,多重线性回归直接将ax+b作为因变量,即y = ax+b,而logistic回归则通过函数S将ax+b对应到一个隐状态p,p = S(ax+b),然后根据p与1-p的大小决定因变量的值。这里的函数S就是Sigmoid函数

$$S(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}$$

将t换成ax+b,可以得到逻辑回归模型的参数形式:$$p(x; a,b) = \frac{1}{1 + e^{-(ax+b)}}  ……(1)$$

 

图1:sigmoid函数的图像

通过函数S的作用,我们可以将输出的值限制在区间[0, 1]上,p(x)则可以用来表示概率p(y=1|x),即当一个x发生时,y被分到1那一组的概率。可是,等等,我们上面说y只有两种取值,但是这里却出现了一个区间[0, 1],这是什么鬼??其实在真实情况下,我们最终得到的y的值是在[0, 1]这个区间上的一个数,然后我们可以选择一个阈值,通常是0.5,当y>0.5时,就将这个x归到1这一类,如果y<0.5就将x归到0这一类。但是阈值是可以调整的,比如说一个比较保守的人,可能将阈值设为0.9,也就是说有超过90%的把握,才相信这个x属于1这一类。了解一个算法,最好的办法就是自己从头实现一次。下面是逻辑回归的具体实现。

 

逻辑回归模型的代价函数

逻辑回归一般使用交叉熵作为代价函数。关于代价函数的具体细节,请参考代价函数,这里只给出交叉熵公式:

$$J(\theta) = -\frac{ 1 }{ m }[\sum_{ i=1 }^{ m } ({y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})})]$$

m:训练样本的个数;

hθ(x):用参数θ和x预测出来的y值;

y:原训练样本中的y值,也就是标准答案

上角标(i):第i个样本

 

2. 数据准备


下面的数据来自《机器学习实战》中的示例:

-0.017612	14.053064	0
-1.395634	4.662541	1
-0.752157	6.538620	0
-1.322371	7.152853	0
0.423363	11.054677	0
0.406704	7.067335	1
0.667394	12.741452	0
-2.460150	6.866805	1
0.569411	9.548755	0
-0.026632	10.427743	0

 

上面的数据一共是3列10行,其中前两列为x1和x2的值,第3列表示y的值;10行表示取了10个样本点。我们可以将这些数据当做训练模型参数的训练样本。

见到训练样本就可以比较直观的理解算法的输入,以及我们如何利用这些数据来训练逻辑回归分类器,进而用训练好的模型来预测新的样本(检测样本)。

从逻辑回归的参数形式,式子(1)我们可以看到逻辑回归模型中有两个待定参数a(x的系数)和b(常数项),我们现在给出来的数据有两个特征x1, x2,因此整个模型就增加了一项:ax1 + cx2 + b。为了形式上的统一,我们使用带下标的a表示不同的参数(a0表示常数项b并作x0的参数<x0=1>,a1、a2分别表示x1和x2的参数),就可以得到:

$$ a_0x_0 + a_1x_1 + a_2x_2 $$

这样统一起来后,就可以使用矩阵表示了(比起前面展开的线性表示方式,用矩阵表示模型和参数更加简便,而且矩阵运算的速度也更快):

$$ \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & a_2 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = a^{ \mathrm{ T } }X$$

 

 将上面的式子带入到(1)式,我们就可以得到逻辑回归的另一种表示形式了:

 $$p(x; a) = \frac{1}{1 + e^{-a^{ \mathrm{ T } }X}}  ……(2)$$

 此时,可以很清楚的看到,我们后面的行动都是为了确定一个合适的a(一个参数向量),使得对于一个新来的X(也是一个向量),我们可以尽可能准确的给出一个y值,0或者1.

 

注:数据是二维的,也就是说这组观察样本中有两个自变量,即两个特征(feature)。

 

3. 训练分类器


就像上面说的,训练分类器的过程,就是根据已经知道的数据(训练样本)确定一个使得代价函数的值最小的a(参数向量/回归系数)的过程。逻辑回归模型属于有监督的学习方法,上面示例数据中的第3列其实是训练样本提供的"标准答案"。也就是说,这些数据是已经分好类的(两类,0或者1)。在训练阶段,我们要做的就是利用训练样本和(2)式中的模型,估计一个比较合适的参数a,使得仅通过前面两列数据(观察值/测量值)就可以估计一个值h(a),这个值越接近标准答案y,说明我们的模型预测的越准确。

 

下面是估计回归系数a的值的过程,还是借鉴了《机器学习实战》中的代码,做了少量修改:

其中计算参数梯度,即代价函数对每个参数的偏导数(下面代码中的第36-38行),的详细推导过程可以参考这里

 1 '''
 2 Created on Oct 27, 2010
 3 Logistic Regression Working Module
 4 @author: Peter
 5 '''
 6 from numpy import *
 7 import os
 8 
 9 path = 'D:\MechineLearning\MLiA_SourceCode\machinelearninginaction\Ch05'
10 training_sample = 'trainingSample.txt'
11 testing_sample = 'testingSample.txt'
12 
13 # 从文件中读入训练样本的数据,同上面给出的示例数据
14 # 下面第20行代码中的1.0表示x0 = 1
15 def loadDataSet(p, file_n):
16     dataMat = []; labelMat = []
17     fr = open(os.path.join(p, file_n))
18     for line in fr.readlines():
19         lineArr = line.strip().split()
20         dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  # 三个特征x0, x1, x2
21         labelMat.append(int(lineArr[2]))  # 标准答案y
22     return dataMat,labelMat
23 
24 def sigmoid(inX):
25     return 1.0/(1+exp(-inX))
26 
27 # 梯度下降法求回归系数a,由于样本量少,我将迭代次数改成了1000次
28 def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
29     dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
30     labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
31     m,n = shape(dataMatrix)
32     alpha = 0.001  # 学习率
33     maxCycles = 1000
34     weights = ones((n,1))
35     for k in range(maxCycles):              # heavy on matrix operations
36         h = sigmoid(dataMatrix*weights)     # 模型预测值, 90 x 1
37         error = h - labelMat                # 真实值与预测值之间的误差, 90 x 1
38         temp = dataMatrix.transpose()* error # 交叉熵代价函数对所有参数的偏导数, 3 x 1
39         weights = weights - alpha * temp  # 更新权重
40     return weights
41 
42 # 下面是我自己写的测试函数
43 def test_logistic_regression():
44     dataArr, labelMat = loadDataSet(path, training_sample)  # 读入训练样本中的原始数据
45     A = gradAscent(dataArr, labelMat)  # 回归系数a的值
46     h = sigmoid(mat(dataArr)*A)  #预测结果h(a)的值
47     print(dataArr, labelMat)
48     print(A)
49     print(h)
50     # plotBestFit(A)
51 
52 test_logistic_regression()

 

上面代码的输出如下:

  • 一个元组,包含两个数组:第一个数组是所有的训练样本中的观察值,也就是X,包括x0, x1, x2;第二个数组是每组观察值对应的标准答案y。
([[1.0, -0.017612, 14.053064], [1.0, -1.395634, 4.662541], [1.0, -0.752157, 6.53862], [1.0, -1.322371, 7.152853], [1.0, 0.423363, 11.054677], [1.0, 0.406704, 7.067335], [1.0, 0.667394, 12.741452], [1.0, -2.46015, 6.866805], [1.0, 0.569411, 9.548755], [1.0, -0.026632, 10.427743]], [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0])  

 

  • 本次预测出来的回归系数a,包括a0, a1, a2
[[ 1.39174871]
[-0.5227482 ]
[-0.33100373]]  

 

  • 根据回归系数a和(2)式中的模型预测出来的h(a)。这里预测得到的结果都是区间(0, 1)上的实数。
[[ 0.03730313]
[ 0.64060602]
[ 0.40627881]
[ 0.4293251 ]
[ 0.07665396]
[ 0.23863652]
[ 0.0401329 ]
[ 0.59985228]
[ 0.11238742]
[ 0.11446212]]  

标准答案是{0, 1},如何将预测到的结果与标准答案y进行比较呢?取0.5作为阈值,大于该值的样本就划分到1这一组,小于等于该值的样本就划分到0这一组,这样就可以将数据分为两类。检查一下结果可以看到,我们现在分出来的1这一类中包括原来y=1的两个样本,另一类包括原来y=0的所有样本和一个y=1的样本(分错了)。鉴于我们选择取的样本比较少(只有10个),这样的效果其实还算非常不错的!

 

 4. 结果展示


上面已经求出了一组回归系数,它确定了不同类别数据之间的分割线。可以利用X内部(x1与x2之间的关系)的关系画出该分割线,从而更直观的感受到分类的效果。

 

添加下面一段代码:

 1 # 分类效果展示,参数weights就是回归系数
 2 def plotBestFit(weights):
 3     import matplotlib.pyplot as plt
 4     dataMat,labelMat=loadDataSet(path, training_sample)
 5     dataArr = array(dataMat)
 6     n = shape(dataArr)[0]
 7     xcord1 = []; ycord1 = []
 8     xcord2 = []; ycord2 = []
 9     for i in range(n):
10         if int(labelMat[i])== 1:
11             xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
12         else:
13             xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
14     fig = plt.figure()
15     ax = fig.add_subplot(111)
16     ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
17     ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
18     x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
19     y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]  # x2 = f(x1)
20     ax.plot(x.reshape(1, -1), y.reshape(1, -1))
21     plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
22     plt.show()

将上面的test_logistic_regression()函数中的最后一句注释去掉,调用plotBestFit函数就可以看到分类的效果了。

这里说明一下上面代码中的第19行,这里设置了sigmoid函数的取值为1/2,也就是说取阈值为0.5来划分最后预测的结果。这样可以得到$$e^{-a^{ \mathrm{ T } }X} = 1$$,即$-a^TX=0$,可以推出$x_2 = (-a_0x_0 - a_1x_1)/a_2$,同第19行,也就是说这里的$y$实际上是$x_1$,而$x$是$x_1$。因此下图表示的是$x_1$与$x_2$之间的关系。

分类效果图如下:

三个红色的点是原来$y=1$的样本,有一个分错了。这里相当于将所有的数据用二维坐标(x1, x2)表示了出来,而且根据回归参数画出的线将这些点一分为二。如果有新的样本,不知道在哪一类,只用将该点画在图上,看它在这条直线的哪一边就可以分类了。

 

下面是使用90个训练样本得到的结果:

可以看出一个非常明显的规律是,$y=1$的这一类样本(红色的点)具有更小的$x_2$值,当$x_2$相近时则具有更大的$x_1$值。

此时计算出来的回归系数a为:

[[ 5.262118 ]
[ 0.60847797]
[-0.75168429]]

 

5. 预测新样本


添加一个预测函数,如下:

直接将上面计算出来的回归系数a拿来使用,测试数据其实也是《机器学习实战》这本书中的训练数据,我拆成了两份,前面90行用来做训练数据,后面10行用来当测试数据。

1 def predict_test_sample():
2     A = [5.262118, 0.60847797, -0.75168429]  # 上面计算出来的回归系数a
3     dataArr, labelMat = loadDataSet(path, testing_sample)  
4     h_test = sigmoid(mat(dataArr) * mat(A).transpose())  # 将读入的数据和A转化成numpy中的矩阵
5     print(h_test)  # 预测的结果

 

调用上面的函数,可以得到以下结果,即h(a):

[[ 0.99714035]
[ 0.04035907]
[ 0.12535895]
[ 0.99048731]
[ 0.98075409]
[ 0.97708653]
[ 0.09004989]
[ 0.97884487]
[ 0.28594188]
[ 0.00359693]]

 

下面是我们的测试数据(原来的训练样本后十行的数据,包括标准答案y):

0.089392	-0.715300	1
1.825662	12.693808	0
0.197445	9.744638	0
0.126117	0.922311	1
-0.679797	1.220530	1
0.677983	2.556666	1
0.761349	10.693862	0
-2.168791	0.143632	1
1.388610	9.341997	0
0.317029	14.739025	0

 

比较我们预测得到的h(a)和标准答案y,如果按照0.5为分界线的话,我们利用前90个样本训练出来的分类器对后面10个样本的类型预测全部正确。

 

 

附件:

github上的代码更新到python3.6, 2019-1-6

完整代码:https://github.com/OnlyBelter/MachineLearning_examples/tree/master/de_novo/regression

训练数据:https://github.com/OnlyBelter/MachineLearning_examples/blob/master/de_novo/data/Logistic_Regression-trainingSample.txt

测试数据:https://github.com/OnlyBelter/MachineLearning_examples/blob/master/de_novo/data/Logistic_Regression-testingSample.txt

 

参考:

http://baike.baidu.com/item/logistic%E5%9B%9E%E5%BD%92

https://en.wikipedia.org/wiki/Sigmoid_function

《机器学习实战》,哈林顿著,李锐等译,人民邮电出版社,2013年6月第一版

 

posted @ 2016-12-27 00:07  昕-2008  阅读(...)  评论(...编辑  收藏