【数学】三角函数

【数学】三角函数

• 正弦函数：\(\displaystyle \sin{a}=\frac{y}{r}\)

• 余弦函数：\(\displaystyle \cos{a}=\frac{x}{r}\)

• 正切函数：\(\displaystyle \tan{a}=\frac{y}{x}\)

• 余切函数：\(\displaystyle \cot{a}=\frac{x}{y}\)

• 正割函数：\(\displaystyle \sec{a}=\frac{r}{x}\)

• 余割函数：\(\displaystyle \csc{a}=\frac{r}{y}\)

基本关系式

• 平方关系：\(\displaystyle \sin^2a+\cos^2a=1\)

• 商数关系：\(\displaystyle \frac{\sin{a}}{\cos{a}}=\tan{a}\)

诱导公式

三角函数不同参数的等价关系

	公式一	公式二
输入角	\(-a\)	\(\frac{\pi}{2}-a\)
sin	\(-\sin(a)\)	\(\cos{a}\)
cos	\(\cos(a)\)	\(\sin{a}\)
tan	\(-\tan(a)\)	\(\cot{a}\)

两角和差公式

证明过程：https://zhuanlan.zhihu.com/p/81418332

• \(\cos(a+b)=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}\)
• \(\cos(a-b)=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\)
• \(\sin(a+b)=\sin{a}\cos{b}+\cos{a}\sin{b}\)
• \(\sin(a-b)=\sin{a}\cos{b}-\cos{a}\sin{b}\)
• \(\tan(a+b)=\frac{\tan{a}+\tan{b}}{1-\tan{a}\tan{b}}\)
• \(\tan(a-b)=\frac{\tan{a}-\tan{b}}{1+\tan{a}\tan{b}}\)

两倍角公式

• \(\cos{2a}=\cos^2{a} - \sin^2{a}\)
• \(\cos{2a}=2\sin{a}\cos{a}\)
• \(\tan{2a}=\frac{2\tan{a}}{1-\tan^2{a}}\)

半角公式

• \(\sin^2\frac{a}{2}=\frac{1-cos(a)}{2}\)
• \(\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+cos(a)}{2}\)
• \(\tan^2\frac{a}{2}=\frac{1-cos(a)}{1+cos(a)}\)

证明过程

证明 \(\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+cos(a)}{2}\)：

\( \begin{aligned} \cos(a) &= \cos(\frac{a}{2}+\frac{a}{2})\\ &= \cos(\frac{a}{2})\cos(\frac{a}{2})-\sin(\frac{a}{2})\sin(\frac{a}{2})\\ &= \cos^2(\frac{a}{2})-\sin^2(\frac{a}{2})\\ &= \cos^2(\frac{a}{2})-(1-\cos^2(\frac{a}{2}))\\ &= 2\cos^2(\frac{a}{2})-1 \end{aligned} \)

变形可得：

\( \begin{aligned} \cos(a) &= 2\cos^2(\frac{a}{2})-1\\ 2\cos^2(\frac{a}{2}) &= 1+\cos(a)\\ \cos^2(\frac{a}{2}) &= \frac{1+\cos(a)}{2}\\ \end{aligned} \)